2016年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)

(1)对数列A:?2,2,?1,1,3,写出G?A?的所有元素; (2)证明:若数列A中存在an使得an?a1,则G?A???;

(3)证明:若数列A满足an?an?1?1?n?2,3,?,N?,则G?A?的元素个数不小于aN?a1.

解:(1)根据题干可得,a1??2,a2?2,a3??1,a4?1,a5?3,a1?a2满足条件,2满足条件,a2?a3不

满足条件,3不满足条件,a2?a4不满足条件,4不满足条件,a1,a2,a3,a4,均小于a5,因此5满足条件,因此G?A???2,5?.

(2)因为存在an?a1,设数列A中第一个大于a1的项为ak,则ak?a1≥ai,其中2?i?k?1,

所以k?G?A?,G?A???.

(3)设A数列的所有“G时刻”为i1?i2???ik,对于第一个“G时刻”i1,有ai1?a1≥ai,i?2,3,?,i1?1,

2,?,i2?1)则ai1?a1≤ai1?ai1?1≤1.对于第二个“G时刻”i2??i1?,有ai2?ai1≥ai(i?1,.

则ai2?ai1≤ai2?ai2?1≤1.类似的ai3?ai2≤1,…,aik?aik?1≤1.

于是,对于aN,若N?G?A?,则aik?aN; k≥aik?aik?1?aik?1?aik?2???ai2?ai1?ai2?a1?aik?a1.

????????aik?1,?,aN中存在“G时刻”,与只有k个“G时刻”矛盾. 若N?G?A?,则aN≤aik,否则由⑵,知aik,从而,k≥aik?a1≥aN?a1,证毕.

【点评】本题属于新定义题型,重点在于对“G时刻”定义的把握,难度较大.

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