课题：数列综合问题(1)
教学目标：通过研究数列的特征和性质，让学生掌握判定数列中的项的常用方法，学会处理数列单调性的相关问题，从而提高学生对问题分析、转化与突破的能力. 教学重点：求解方程整数解的方法与作差法处理数列的单调性. 教学难点：方程整数解的存在性判定，离散型不等式恒成立的转化. 教学过程： 明确本课的主题.
研究对象：通项an与和式Sn； 研究模型：等差数列和等比数列. 研究问题：(1)判断是否为数列中的项； (2)数列中项的相关性质（最值与单调性）. 一．小题训练
1.若数列{an}满足：a1?2,an?1?an?3，则26为数列{an}中的第 项. 2.若公差非零的等差数列{an}中a1?1且a1,a3,a9成等比数列，则a9? . 3.若数列{an}的前n项和为Sn?An2?Bn，其中S1??7,S2??12，则an? . 参考答案：
1.等差数列，从而an?3n?1，从而a9=26；或者n?an?a1d?1?9.
2.先求基本量，则(1?2d)2?(1?0d)(1?8d)，得d?1，从而an?n，即a9?9.
3.判断为等差数列，从而an?2n?9；利用待定系数法，得Sn?n2?8n，从而an?2n?9. 二．例题分析 1.判定从属关系
例1(必修5，p32，习题2.1，4)已知数列{an}的通项公式是an?n2?3n?2，56是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？
分析：只需要判定方程是否有正整数解.
4?0，解：构建方程n?3n?2?56，则n?3n?5解得n??9或者n?6，说明56是数列{an}中的第6项.
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点评：处理关键是建立方程，从而加以求解.其可以通过因式分解或者配方的方法处理. 变式1：若数列{an}的通项为an?n3?3n?2，判断56是否为数列{an}中的项？
n?3n?54=0，分析：此时基本的想法是构造方程n?3n?2=56，整理得：现在问题是如何解？
方法1：为了求未知数n，经过分析n(n2?3)?54，则n2?3?54n33
说明n为54的正因子，所以n?1,2,3,6,9,18,27,54，此时已经缩小了范围，经过检查，每个都不是解，说明56不是其中的项.
方法2：利用方程与函数的关系，把方程的解转化成函数的零点，从而构造：
f(x)?x3?3x?54，又f?(x)?3x2?3，从而函数在[0,??)单调增，
又因为f(3)?0,f(4)?0，从而根据零点的存在性定理，知零点x0?(3,4)， 故不存在正整数解，即56不是其中的项.
点评：通过以上特殊问题的研究，不难发现判定项的问题，其实就是建立方程加以求解. 其方程具有特殊性，求整数解，除了可以利用函数的观点来处理，还可以有独特的处理方法，即因子分析加以缩小范围.
2222真题1(2009江苏) 设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a2，?a3?a4?a5S7?7. (1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn； (2)试求所有的正整数m，使得amam?1am?2为数列{an}中的项. 分析：等差数列的基本量，题目中提供了两个等量关系，所以容易得到首相和公差，从而得到通项和和式.而第二小问，需要我们判断是否为其中的项，首先要具体化，从而来观察，发现分子两次，分母一次，希望“作除法”的过程中没有余数，既能被整除.
2222解答：(1)设公差为d，则a2，由性质得?3d(a4?a3)?d(a4?a3)，因为d?0， ?a5?a4?a3所以a4?a3=0，即2a1?5d=0，又由S7?7得a4?1,a1?3d?1，解得a1??5,d?2， 所以{an}的通项公式为an?2n?7，前n项和Sn?n2?6n. (2)
amam?1am?2?(2m?7)(2m?5)2m?3?(am?2?4)(am?2?2)am?2?am?2?6?am8?2为整数，从而
amam?1am?2因为am?2是奇数，所以am?2可取的值为?1，当am?2?1，m?3时，当am?2??1，m?1时，
amam?1am?2?3为数列中第5项；
??15不是数列中的项，从而满足条件的正整数为m?2.
点评：对于整数的问题，我们要思考其特殊性，如果我们了解一点整数理论的知识，也许我们可
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以通过相邻三个奇数是两两互质的，那么很快可以得到分母只能是?1，从而更快捷的解决问题. 2.判断单调特性
例2`(必修5，p32，习题2.1，6(2))已知数列{an}的通项公式是an?n2?8n?5，这个数列所有项中有没有最小项？
分析：由于数列是离散型的函数，因此可以通过图象加以观察.
解答：通过配方，an?(n?4)2?11，所以当n?4时，此项最小，即第四项是最小项. 点评：数列也是一种函数，其特殊性在于离散型，可以参考函数的研究方法.
变式2. 已知数列{an}的通项公式为an?n2?kn?5，若对于任意正整数n，都有an?1?an，则实数k的范围为 .
分析：我们刚才把这个问题看成函数处理的，此时判断对称轴的位置，那么本题是否也可以借鉴，那需要注意什么？如果不这么处理，我们该如何刻画一个比一个大？这种比较大小该如何转化？ 方法1：函数的观点.考察函数y?x2?kx?5，其对称轴与1，2比较而言，应该靠近1，从而
3，即k??3. x??k2?2方法2：不等式比较.转化为恒成立问题，具体化之后(n?1)2?k(n?1)?5>n2?kn?5恒成立， 整理得：k??(2n?1)恒成立，从而k??3.
点评：虽然数列是特殊的函数，可以从单调性（图象）来观察，但要注意其离散性，这对我们以后讨论一些离散型的问题应该有所启发．两者相比较而言，就本题而言，比较倾向于“比较法”． 练习：若数列{an}的通项为an?2n?n2，则数列{an}是否存在最小项？
分析：暂时不能画出其函数图象，但可以从函数的角度观察到：当自变量足够大的时候，应该整体是单调增的，从而只需要考虑前面几个，因此可以通过“走几步看看”来实现作为填空题的愿望，同时也能得到一个直观的感觉，从而可以选择“先猜后证”的处理方法．
a1?1,a2?0,a3??1,a4?0,a5?7,a6?28,，
从而感觉到最小项是第三项，我们如何加以证明呢？
x2x2方法１：通过对函数y?2,y?x关系的研究，发现只有当2?x?4时，2?x?0，从而最
小项确定．
方法２：通过an?1?an的正负来判断增减性．an?1?an?2n?(2n?1)，可知当n?3时，
2n?(2n?1)?(1?n?
?n?1)?(2n?1)?0，从而从第三项起，数列单调递增，于是只需要考
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