6.1(5) S5=Mn(R),+为矩阵加法，则S 是（群）
答：满足封闭性，因为矩阵加法可结合所以为半群，且幺元为e＝0的矩阵,故为独异点。又因为以任一n阶矩阵的逆元存在是它的负矩阵，所以是群。 评语：答案太简单
6.2
（1）因为可结合，交换，幺元为1，但不存在逆元 所以是半群
（2）因为可交换，结合，幺元为0，是有限阶群并且是循环群，G中的2阶元是2，4阶元是1和3
6.4 设Z为正数集合，在Z上定义二元运算 ° ，? x,y∈Z有
x ° y=x+y-2, 那么Z与运算 ° 能否构成群？为什么？
解： 设 ? a,b,c ∈Z
（a ° b）° c = (a+b-2) ° c
= a+b- 2+ c-2 =a+b+c-4 a ° (b ° c) = a ° (b+c-2) =a + b+c-2-2 =a+b+c-4
对2∈Z，? x∈Z有
x ° 2=x+2-2=x=2° x,
可见 , 存在幺元，幺元为2。 对? x∈Z有4-x∈Z,使x ° （4-x）= (4-x) ° x=2 所以 x-1 = 4-x
所以Z与运算 ° 能构成群 。
6.7 下列各集合对于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格？ （1）L={1,2,3,4,5}. （2）L={1,2,3,6,12}.
（3）L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}. （4）L={1,2,2(2),…,2(n)}.
（1）L={1,2,3,4,5}.
解：由它的哈斯图可以知道，该偏序集不是格，因为3和4、5和4 、3和5有最大下届是1，但是没有最小上届。
（2）L={1,2,3,6,12}.
解：由它的哈斯图可以知道，该偏序集是格。因为L中的任意俩个元素都有最大下结和最小上届。
（3）L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}.
解：由它的哈斯图可以知道，该偏序集是格。因为L中的任意俩个元素都有最大下结和最小上届。
（4）L={1,2,2(2),…,2(n)}.
解：由它的哈斯图可以知道，这是一条链，故该偏序集是格。因为L中的任意俩个元素都有最大下结和最小上届。
评语：结果正确，虽然此题可以根据哈斯图得出结论，但哈斯图必须画出。 对于整除关系来讲，任意两个元素的上确界是它们的最小公倍，下确界是它们的最大公约数，所以可以根据这两种运算判断是否满足格所满足的运算律来判断。 6.8
S 非空并且⊕为二元运算所以是代数系统。
（x⊕y）⊕z=x⊕(y⊕z) 可结合是半群 0⊕y=(0∧y’)∨(1∧y)=0∨y=y 所以幺元是0 并且每一个元素逆元是本身 是群。
评语：结论正确，但说的太简单。如：问什么是二元运算，为什么可结合，为什么逆元是元素本身，都没有详细说明，么元说的也不够明确。
6．9 设A={1，2，3，4，5}，
(2)令B={1,4,5},求由B生成的循环子群. 解; (1)∵{1，3}?X={3，4，5} A={1,2,3,4,5} 设a={1,3} b={3,4,5} ∴a,b∈p(A) ∵
∴a-1 ? a ? x= a-1?b
e ? x= a?b x= a-1?b
e=? a=a
∴x=a?b={1,3}?{3,4,5}={1,4,5} (2)由B生成的循环子群为 {?,{1,4,5}}
-1
-1
6.10
（1）：σ=（124）（365） τ=（1634）（25） （2）： 1. στ= (15423) 2．τσ=(15462)
3．??? = (1256)(34)
?16.11 判断以下映射是否为同态映射。如果是，说明它是否为单同态和满同态。
? ：G →G, (x)=e,? （1）G为群，?x?G,其中e是G的幺元。
?（2）G=
(3)G1= x?：G→G, (x)=e?乘法。 , ?x?R. 解： （1）是同态, 当G={e}时，既是单同态也是满同态，其他情况下既不是单同态也不是 满同态。 （2）是同态，是单同态但不是满同态。 （3）是同态，既是单同态也是满同态。 6.12 110 10 5 55 2 22 11 1 由图可知此偏序集是分配格，满足分配关系，也是有补格所以是布尔代数 6.14 在图6-7所示的3个有界格中哪些元素有补元？如果有，请指出该元素所有的补元。 （1）0，1互为补元 a,b,c,d 都不存在补元 因为0，1的最小上界是1，最大下界是0 （2）0，1互为补元 ，a,c的补元是b,d，b,d的补元是a,c 因为0，1的最小上界是1，最大下界是0 a,c中的任一个与b,d中的任一个的最小上界是1，最大下界是0 （3）0，1互为补元 c与b互为补元 因为0，1的最小上界是1，最大下界是0 c与b的最小上界是1，最大下界是0 1cba0 11dbdca0ca db0 （1） （2） （3）