第五讲 几何——立体部分
一、长方体和正方体
如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．
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①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：S长方体?2(ab?bc?ca)； 长方体的体积：V长方体?abc．
③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a，那么：S正方体?6a2，V正方体?a3．
二、圆柱与圆锥
立体图形 h表面积 S圆柱?侧面积?2个底面积?2πrh?2πr2体积 V圆柱?πrh2 圆柱r S圆锥?侧面积?底面积?n360πl?πr22hr V圆锥体?13πrh2 圆锥 注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长
例题精讲： 【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？ 【解析】 我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10?10?6?600． 【例 2】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）
【解析】 原正方体的表面积是4?4?6?96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又
增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．
从而，它的表面积是：96?4?6?120平方厘米．
【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下
的立体图形的表面积是多少？
【解析】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积
不变：50?50?6?15000(平方厘米)．
【例 3】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小
洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为
12厘米的正方形
14小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米，那么
最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 【解析】 我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：
2?2?2?8(平方厘米)；左右方向、前后方向：2?2?4?16(平
方厘米)，1?1?4?4(平方厘米)，
1412?12?4?1(平方厘米)，
?14?4?1414(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：
?298?16?4?1?14(平方厘米).
【例 4】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小
块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？
【解析】 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数?2?增加的面数．
原正方体表面积：1?1?6?6(平方米)，一共锯了(2?1)?(3?1)?(4?1)?6次， 6?1?1?2?6?18(平方米)．
【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为56cm2的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体
表面积的和是 cm2．
【解析】 每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面
积增加到原来的3倍，即表面积的和为56?3?168(cm2)．
【例 5】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？
25块积木
【解析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小.
设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个3?3?3的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.
【例 6】 要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该
如何打包？
⑴当 b?2h时，如何打包？ ⑵当 b?2h时，如何打包？ ⑶当 b?2h时，如何打包？
【解析】 图2和图3正面的面积相同，侧面面积?正面周长?长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，
图2的正面周长是8h?6b，图3的周长是12h?4b.两者的周长之差为2（b?2h）.
当b?2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b?2h时，按图2打包；当b?2h时，按图3打包.
ahb图1图2图3
【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？ 【解析】 考虑所有的包装方法，因为6?1?2?3，所以一共有两种拼接方式：
第一种按长宽高1?1?6拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法. 第二种按长宽高1?2?3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法.
其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.
【例 7】 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．
【解析】 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正
方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方向：5?5?2?50(平方分米)；侧面：5?5?4?100(平方分米)，4?4?4?64(平方分米)．这个立体图形的表面积为：50?100?64?214(平方分米)．
【例 8】 (2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方
体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．
【解析】 (法1)四个正方体的表面积之和为：(1?2?3?5)?6?39?6?234(平方厘米)，
2222重叠部分的面积为：12?3?(22?2?12)?(32?22?12)?(32?22?12)?3?9?14?14?40(平方厘米)，
所以，所得到的多面体的表面积为：234?40?194(平方厘米)．
(法2)三视图法．从前后面观察到的面积为52?32?22?38平方厘米,从左右两个面观察到的面积为2225?3?34平方厘米，从上下能观察到的面积为5?25平方厘米． 表面积为?38?34?25??2?194(平方厘米)．
【例 9】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形
的表面积．
【解析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：2个
上面?2个左面?2个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：(9?8?10)?2?54(平方厘米)．
上下面
左右面
前后面
【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?
【解析】 该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．
该图形的表面积等于(9?7?7)?2?46个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米．
【例 10】 有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂
成红色的表面积．
【解析】 4?4?(1?2?3?4)?4?56(平方米)．
【例 11】 棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方
体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小值是多少? 【解析】 切割成棱长是1厘米的小正方体共有m3个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的
个数之比为13:12，而13?12?25，所以小正方体的总数是25的倍数，即m3是25的倍数，那么m是5的倍数．
当m?5时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5?5?5?4?2?65个，表面没有红色的小正方体有 125?65?60个，个数比恰好是13:12，符合题意.因此，m的最小值是5．
【例 12】 有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼
成一个4?4?4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？
【解析】 要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑
色小正方体尽量不露出来．
在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有(4?2)3?8(个)，用黑色的；在面上但不在边上的小
正方体有(4?2)2?6?24(个)，其中30?8?22个用黑色．
这样，在表面的4?4?6?96个1?1的正方形中，有22个是黑色，96?22?74(个)是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米．
【例 13】 三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个
连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？
【解析】 每个长方体的棱长和是288?3?96厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是96?4?24厘米．因
为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米、7厘米．
要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少．所以，涂一面的长方体应涂一个8?7面，有8?7?56个； 涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个8?7面，有8?7?2?112个；若两面相邻，应涂一个8?7面和一个9?7面，此时有7??8?9?2??105个，所以涂两面的最少有105个；
涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个8?7面、一个9?7面，有7??8?8?9?4??147个；