第5章 参数估计与假设检验练习题
1、设随机变量 X 的数学期望为
，方差为
2
，（X1 ，X2 ，···，Xn ）为X的一个样
1n1n2本，试比较 E(?(Xi??)) 与 E(?(Xi?X)2) 的大小。
ni?1ni?1
（ 前者大于后者 ）
2、设随机变量 X与Y相互独立，已知 EX = 3，EY = 4，DX = DY = 时，Z = k ( X 2
（ 16 / 7 ）
3、设正态总体 X ~ N (
,
2
2
，试问：k 取何值
Y 2 ) + Y 2 是
2
的无偏估计 。
) ，参数
2 ，
n?1i?12
均未知，（ X1 ，X2 ，… ，Xn ）（ n
2
??C?(Xi?1?Xi)2 为 2 ）为简单随机样本，试确定 C，使得 ? 的无偏估计。
（
4、假设总体 X 的数学期望为
，方差为
2
1 ）
2(n?1) ，(X1,X2,...,Xn) 为来自总体 X 的一个样
2
本，X、S2 分别为样本均值和样本方差，试确定常数 c ，使得 X2?cS2 为
（ 1 / n ）
5、设 X1 ，X2 是取自总体 N (
?1?量 ? 的无偏估计量.
,
2
) （ 未知）的一个样本，试说明下列三个统计
131111?2?X1?X2 ，??3?X1?X2 中哪个最有效。 X1?X2 ，?442232
?2 ） （ ?
?3x2?6、设某总体 X 的密度函数为：f(x,?)???3??00?x??其它 ，（ X1 ，X2 ，… ，Xn ）为该
总体的样本， Yn = max ( X1 , X2 , … , Xn ) ，试比较未知参数 ? 的估计量 个更有效？
（ n > 1 时，
7、从某正态总体取出容量为10的样本，计算出
?2 。 ? 和 ?方差的矩估计 ?3n?1Yn 更有效 ） 3n43n?1X 与 Yn 哪33n?xi?110i?150 ，?xi2?2720 。求总体期望与
i?110
（ 15 ；47 ）
11?(1?)??1??8、设总体 X 具有密度 f(x;?)??C?x?0?x?C ，其中参数 0 < x?C < 1，C 为已知常
数，且C > 0，从中抽得一样本 X1 ，X2 ，… ，Xn ，求参数
（ 1
9、设总体 X 服从（ 0， ）上的均匀分布，其中 Xn ）为简单随机样本，求出
（ 2
1nX ，其中 X??Xi ；是 ）
ni?1 的矩估计量。
C /
1nX ，其中 X??Xi ）
ni?1 > 0 是未知参数，（ X1 ，X2 ，… ，
的无偏估计量。
? ，并判断 ?? 是否为 的矩估计量 ?10、设（ X1 ，X2 ，… ，Xn ）为总体 X 的一组样本，总体 X 密度函数为：
2???1??1?xf(x;?)????1?0?0?x?1 ， 其中 其它 > 1 且未知。试求该总体未知参数 的极大似然估计
量。
1?（ ??1??lnXi ） MLEni?1n
??(1?x)??1,x?(0,1)11、设总体 X 的概率密度为 f(x;?)?? ，其中
x?(0,1)?0,和最大似然估计量。
> 0 是未知参数，
（X1 ，X2 ，…… ，X n ）是取自总体X的一个样本，试求：总体期望 EX 的最大似然估计量值
?（ ?MLE??ln1(?x)ii?1n?ln1(?x)?nii?1n? ；?MLE???ln(1?Xi?1ni)?ln(1?Xi?1n ）
i)?n
12、设样本 X1 ，X2 ，… ，Xn 为取自分布密度为 f ( x ) 的总体，其中
??(?x)r?1e??xf(x)??0?
x?0 （ r 已知）， > 0，求参数 x?0 的极大似然估计。
nnrr11??（ ? ，其中 x??xi ； ? ，其中 X??Xi ） MLE?MLE?xXni?1ni?1
13、已知某地区各月因交通事故死亡的人数为 3，4，3，0，2，5，1，0，7，2，0，3 。若死亡人数X服从参数为 果求 P ( X > 2 ) 。
的Poisson 分布，求：（1）
的极大似然估计值；（2）利用（1）的结
?（ （1）?MLE?2.5 ； （2）0.4562 ）