20XX级《离散数学II》期末考试试题（A卷）
满分80分，考试时间：2个小时
一、[20分] 判断题（正确的在括号内打?号，错误的打?号）
1、设（G，?）是有限半群，而且有壹，如果关于运算?满足消去律，则（G，?）是群。（ ） 2、任意置换?恰有一法写成轮换的乘积。（ ） 3、设H 是G的子群，则H中的壹与G的壹一致。（ ） 4、设环R是一个含壹环，则R的子环R’也一定是含壹环。（ ） 5、设（R ,+, ?）是一个环，则 ? 运算一定满足交换律。（ ）
6、按照剩余类的加法与乘法，环R对于其理想N的所有剩余类的集合R/N是一个剩余环，则从R到R/N有一个同态映射存在。（ ）
7、设F是 q元有限域，则 F的q-1个非零元素在乘法下一定作成一个循环群。（ ） 8、下列部分序集都是格。( )
A B C D
9、格的同态映射是保序的，反之，保序映射也是同态映射。（ ） 10、下列4个格所对应的哈斯图不都是分配格。( )
A B C D
二、[20分] （20分）（G,*）为群，其中运算*定义如表所示。
1. 写出子群(a)；
* e a 2. 设H=(a)，证明(a)*c=c*(a)；
e e a 3. 找出所有2个元素的子群；
4. 求出G的元数除以(f)的元数的商； a a b 5. 求(f)的所有右陪集。
b b e b b e a c c d f d d f c f f c d c c f d e b a d d c f a e b
f f d c b a e
三、[10分] 设(R,+,?) 为一代数系统，其中R为实数集合，+为实数加法，任取a,b?R，a?b=?a?b，试判断(R,+,?)是否为环。如果是，请证明你的结论；如果不是请说明理由。 四[10分] 下面给出的多项式是R0上的质式吗？请给出证明。 （1）x3-5x+5； （2）x5+7x2-3。 五、[14分] (1) 计算?24(x);
(2) 构造元数为9的有限域(不要求写出加法与乘法运算表)。
六、[6分]设(G,*)为循环群，生成元素为a。设 （A,*）和(B,*)均为(G,*)的子群，而ai和aj分别为（A,*）和(B,*)的生成元。 (1)证明：（A?B,*）是(G,*)的子群； (2)请问：（A?B,*）是否为循环群？如果是，请给出其生成元素。
参考答案
一（20分）、1、3、6、7、10对；2、4、5、8、9错。 二（20分）、1（4分）子群(a)={e,a,b};
2 （4分）(a)*c={c,d,f}而c*(a)={c,f,d}，故(a)*c=c*(a); 3 （4分）{e,c},{e,d},{e,f}三个二元子群；
4（4分）由于大群有6个元素，而子群(f)有2个元素，故它们的商是6/2=3； 5 （4分） (f)、 a*(f)={a,c}和b*(f)={b,d}三个右陪集。 三（10分）、(R,+,)不是环，因为对于R在中的a,b,c，（b+c）?a=?b+c?a，而 b?a+c?a=?b?a+?c?a，?b+c?a不一定等于?b?a+?c?a，即?对+不满足分配律。 四（10分）、1（5分）取p=5，满足艾森斯坦定则的条件，因此x3-5x+5是质式；
2（5分）如果它可约必为一次式与四次及以下因式乘积或二次式与三次及以下因式乘积的形式。 （1）在R2上x5+7x2-3是x5+x2+1，而f(0)=f(1)=1?0，所以它在R2上无一次质因式；
（2）在R2上的二次质因式只有x2+x+1，而x5+x2+1=x2（x+1）(x2+x+1)+1，所以它在R2上也无二次质因式，因此它在R2上不可约，从而在R0上不可约。 五（14分）、1（4分）x24-1=x12-1=
??d|24d(x)=Φ24Φ12?8Φ6Φ4Φ3Φ2Φ1，
??d|12d(x)=Φ12Φ6Φ4Φ3Φ2Φ1,因此x12+1=Φ24 ?8，?8=x4+1，
Φ24=x12+1/x4+1=x8-x4+1。
2（10分）q=9=32，故p=3,m=2。
（1）先求Φpm-1(x)，即Φ8(x)。由x8-1=Φ8Φ4Φ2Φ1，得Φ8(x)= x4 +1 。 (2) 求Φ8(x)在R3x]中的2次质因式
用待定系数法求出Φ8(x)=（x2+x+2）（x2+2x+2）。（1分）无论取ψ（x）= x2+x+2还是取ψ（x）= x2+2x+2， 则R3[x]/(ψ（x）)= R3[x]/ψ（x）R3[x]都是元数是9的有限域， 且是同构的。所以，我们不妨取ψ（x）= x2+x+2，则 R3[x]/(ψ（x）)= R3[x]/ψ（x）
R3[x]={a0?a1x?a0,a1?R3}={0,1,2,x,2x,1?x,2?x,1?2x,2?2x}。） (3) 若取ξ=x ，则
Ψ(ξ)= x?x?2=0，即ξ是ψ(x)在R3[x]/(ψ（x）)中的一个根。因此 GF(9)={a0 +a1ξ|a0，a1∈R3}
2={0,1,2，ξ, 2ξ,1+ξ,2+ξ,1+2ξ，2+2ξ}。 六（6分）、（1）（3分）首先证明（A?B,*）是(G,*)的子群
由于(A,*)和(B,*)都是(G,*)的子群，故单位元既在A中又在B中，因此A?B非空，对于A?B中任意的a,b,由
-于(A,*)和(B,*)都是(G,*)的子群，因此ab既在A中又在B中，因此在A?B中，从而有子群判定定理知（A?B,*）是(G,*)的子群。 （2）（3分）其次证明（A?B,*）是(G,*)的循环子群
由于A?B中必含有幂m>0的元am。因为若m<0，am的逆元a-m也在A?B内，而-m>0。假定am是A?B中的最小正幂，显然A?B包含am的任意乘幂。假如又有A?B中任意元aS，由S=tm+r。0≤r 其生成元素为a[i,j]，其中[i,j]是i和j的最小公倍数。 全对得满分80分。以上只是试题的参考答案，由于证明方法的不同会存在多种证明，批阅试卷时需要根据实际情况掌握。