古代数学的高峰
到了唐代，随着社会经济的高度发达，对解决实际计算问题的算术也提出了更高的要求，促进了算术的发展，为了加快计算速度，出现了不用纸和笔的珠算，算盘在宋代以后逐渐推广应用，成为当时世界上最先进的计算工具，沿用至今． 宋元两代，古代中国数学达到了一个新的水平．涌现出了以秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰等人为代表的一批数学大家和数量可观的数学著作，这些成果在当时处于世界领先的水平．
秦九韶与《数学九章》
秦九韶（1202－1261年），南宋末年生于四川安岳，曾在湖北、江苏等地做官，虽仕途坎坷，在数学研究上却是成就卓著．其代表著作是《数学九章》，秦九韶在这本书中提出了“大衍求一术”和“正负开方术”（即以增乘开方法求高次方程正根的方法），是非凡的数学创造．
19世纪20年代初，英国人霍纳和意大利数学界为“霍纳方法”——一种解任意高次方程的巧妙方法的发明权而争得不可开交，直到他们了解到有个叫秦九韶的中国人，早在570多年前就发现了这种方法时，这场争论才显得毫无意义了． 秦九韶还有许多数学创造．他是世界上最早提出“十进小数”概念和表示法的人，这一成果比荷兰人斯蒂文要早三个世纪．他还独立地推导出已知三边求三角形面积的公式，与古希腊有名的海伦公式暗合．秦九韶是中世纪世界上最伟大的数学家之一，而《数书九章》则标志着中国古代数学的一个高峰．
李冶与“天元术”
李冶（1192－1279年），河北正定人，是生活在金元之际的数学家，一生淡泊名利，长期过着隐居生活，潜心著述讲学，1248年他完成了《测圆海镜》，主要讲述根据给定直角三角形的边长求内切圆和旁切圆的直径的问题，他在此书中提出了“天元术”．所谓天元术就是根据问题的已知条件列出方程和解方程的方法．“天元”相当于未知数X．天元术的出现标志着我国传统数字中符号代数学的诞生．传说有个叫“洞渊老人”的世外高人教给他九个公式，都是关于直角三角形和圆的关系的．回到住处后，李冶反复地琢磨这些公式，觉得还可以大大发挥，于是他借助“天元术”这个刚刚发现的数学工具，推演出了五百多个公式，
后来都写进了《测圆海镜》这部不朽的数学著作中．1259年李冶又写成《益古演段》，力图向读者通俗地解释天元术．
蒙古灭宋之后，由于一位故友的大力举荐，李冶推脱不过，出山为官，被任命为翰林学士；但他就职还不到一年就以年老多病坚决告退了．关于此事，他曾在笔记中写道：“翰林学士要看皇帝的眼色写书，史馆的工作人员也要受宰相监督，他们都不能根据自己的见解去评判历史．有人以为进翰林院和史馆是件光宗耀祖的事，我想有见地的人是不会这样看了.”
李冶晚年一直在封龙山下过着隐居生活，虽然没有高头大马、山珍海味，但却淡泊充实、悠然自得，许多人慕名前来向他学习“天元术”．1279年，李冶逝世，享年87岁，后来，李冶被人们尊为宋元数学四大家之一，他刻苦治学的精神和鄙薄名利的品德一直为后人所称颂．
杨辉与《杨辉算法》
杨辉是南宋末年著名的数学家，留下了十分丰富的数学著作，其中有《详解九章算法》《日用算法》《乘除通变本末》《田亩比类乘除捷法》《续古摘奇算法》，其中后三种统称《杨辉算法》，他的主要贡献在于改进计算技术，提高乘除法的运算速度．他主张以加减代替乘除，以归除代商除，并创造了一套乘除演算的便捷方法．杨辉发明了用“垛积术”为高阶等差级数求和的方法，他还首创了“纵横图”研究．
“纵横图”又叫“九宫图”，记载于《大戴礼记》（西汉学者戴德编纂的一部记载古代各种礼仪制度的文集），南北朝时代北周的数学家甄鸾在《数术记遗》一书对这种图做过解释：“‘九宫者，二、四为肩，六、八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．’”但没有进一步的研究．“2、9、4；7、5、3；6、1、8”这九个数字依次写成纵横三行，每一纵行、每一横行和两条对角线上的三个数字的和都等于15．据说杨辉在台州府任地方官时，有一天听见学童边走边念“二、九、四；七、五、三；六、一、八”这些数字而受到了启发．杨辉发现了这些数字排列的规律．但对于这个九宫图是如何造出来的也百思不得其解．所以九宫图一直被视为神秘的东西，实际上这种图还可以做出很多，有兴趣的读者不妨试一试．
朱世杰与《四元宝鉴》
朱世杰，河北人，元代数学家，其生平不详．在宋元对峙的时候，由于南北交通阻绝，学术交流十分困难．元朝统一中国之后，朱世杰周游各地，以教授数学为生，同时也注意学习当地的数学知识．朱世杰在长期的游历和讲学生活中，对南北两派的数学成果兼收并蓄，成为当时最有名的数学家．杨辉的著作在民间也广为流传．他所写的《算学启蒙》和《四元玉鉴》分别于公元13世纪末和14世纪初年在扬州刊印．
《算学启蒙》从四则运算开始一直讲到高次开方、天元术等内容，由浅入深，是一部很好的数学启蒙教材．这本书出版以后，不但在国内受到欢迎，还传到朝鲜、日本等国．17世纪中后期，这本书的国内刻本已经失传了，幸亏清代学者罗士琳在北京的旧书店中找到了这本书的一个朝鲜刻本，才使它流传下来，这可以说是中外文化交流史上的一段佳话．
朱世杰更重要的著作是《四元宝鉴》，全书共分二十四卷，二百八十八门，书中特别讨论了很多高深的问题，如高次方程组、高阶等差级数的求和等，给出的解决方法如三次内插法等也十分精彩．欧洲，到了十七世纪，才由英国数学家格里高利和牛顿首先研究了内插方法，他们的工作要比朱世杰的《四元宝鉴》晚得多．正因为如此，朱世杰和他的著作《四元宝鉴》享有巨大的国际声誉．近代日、法、英、美、比等国都有学者向本国介绍《四元宝鉴》．美国已故著名科学史家萨顿说朱世杰“是中华民族的，他所生活的时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家……《四元宝鉴》是中国数学著作中最重要的，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一．”这个评价是恰如其分的．宋元时期中国的数学成就举世瞩目，但是自明代以后，中国传统数学只是在计算技术的普及与数学应用的广泛性上有所进步，在符号化和形式化的方面进展缓慢，整体水平开始落后于欧洲．
阿基米德
阿基米德是整个历史上最伟大的数学家之一，后人对阿基米德给以极高的评价，常把他和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家．他大约在公元前287年出身于西西里岛上的希腊城市叙拉古，早年曾在当时希腊的学术中心亚历山大跟随欧几里得的门徒学习，并在那里结识许多同行好友，如科农（Conon of Samos）、多西修斯（Dositheus）、埃拉托塞尼等等．回到叙拉古以后仍然和他