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高二数学选修4-5第一章检测题（2013北师大版带答案） 综合检测(一) (时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知ac2＞bc2，则下列不等式一定成立的是( ) A．a2＞b2 B．lg a＞lg b C.1 b＞1a D．(13)b＞(13)a 【解析】 由ac2＞bc2，得a＞b(c≠0)． 显然当a，b异号或其中一个为 0时，A、B、C不正确． 【答案】 D 2．“|x－1|＜2成立”是“x(x－3)＜0成立”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 |x－1|＜2?－1＜x＜3， x(x－3)＜0?0＜x＜3.
(0,3)??(－1,3)． 【答案】 B 3．(2013?安阳模拟)下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b3 【解析】 由a＞b＋1得a＞b＋1＞b，即a＞b，而由a＞b不能得出a＞b＋1，因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1，选A. 【答案】 A 4．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b的大小关系是( ) A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．a≤b 【解析】 ∵a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex(x＜0)， 故b＜1，∴a＞b. 【答案】 B 5．在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是( ) A．y＝x＋4x B．y＝lg x＋1lg x C．y＝x2＋1＋1x2＋1 D．y＝sin x＋1sin x(0＜x＜π) 【解析】 y＝x＋4x≥24＝4，A错；当0＜x≤1时lg x≤0，B错；当x2＋1＝1x2＋1时x＝0，∴y＝x2＋1＋1x2＋1≥2此时等号取不到，C错；y＝sin x＋1sin x≥2，此时sin x＝1，D正确． 【答案】 D 6．不等式|5x－x2|＜6的解集为( ) A．{x|x＜2，或x＞3} B．{x|－1＜x＜2，或3＜x＜6} C．{x|－1＜x＜6} D．{x|2＜x＜3} 【解析】 |5x－x2|＜6?－6＜5x－x2＜6 ?x2－5x－6＜0，x2－5x＋6＞0， ∴－1＜x＜2或3＜x＜6. 【答案】 B 7．a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( ) A．ab≤12 B．ab≥12 C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3 【解析】 由a≥0，b≥0，且a＋b＝2， ∴4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)， ∴a2＋b2≥2. 【答案】 C 8．设a，b，c为正数，则三个数a＋1b，b＋1c，c＋1a满足( ) A．都不大于2 B．都不小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一
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个不小于2 【解析】 若a＋1b＜2，b＋1c＜2，c＋1a＜2同时成立， 相加得(a＋1a)＋(b＋1b)＋(c＋1c)<6，①， ∵a，b，c∈R＋，∴a＋1a≥2，b＋1b≥2，c＋1c≥2， 三式相加得(a＋1a)＋(b＋1b)＋(c＋1c)≥6，②. 因为①式与②式矛盾，所以a＋1b，b＋1c，c＋1a至少有一个不小于2，选D. 【答案】 D 9．若0＜x＜12，则x2(1－2x)有( ) A．最小值127 B．最大值127 C．最小值13 D．最大值13 【解析】 x2(1－2x)＝x?x(1－2x) ≤(x＋x＋1－2x3)3＝127. 【答案】 B 10．已知a1＞a2＞a3＞0，则使得(1－aix)2＜1(i＝1,2,3)都成立的x取值范围是( ) A．(0，1a1) B．(0，2a1) C．(0，1a3) D．(0，2a3) 【解析】 由(1－aix)2＜1，得0＜aix＜2. 又ai＞0，∴0＜x＜2ai对ai(i＝1,2,3)恒成立． 则x小于2ai的最小值． 又a1＞a2＞a3， ∴2ai的最小值为2a1，则x＜2a1. 因此x的取值范围为(0，2a1)，选B. 【答案】 B 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中的横线上) 11．关于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集是空集，则a的取值范围是________． 【解析】 |x－1|＋|x－2|的最小值为1， 故只需a2＋a＋1＜1，∴－1＜a＜0. 【答案】 (－1,0) 12．(2012?山东高考)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________. 【解析】 ∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}， ∴k＝2. 【答案】 2 13．(2013?南昌模拟)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________． 【解析】 ∵|x－1|≤1，∴－1≤x－1≤1，∴0≤x≤2. 又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3， 从而－6≤－2y≤－2. 由同向不等式的可加性可得－6≤x－2y≤0， ∴－5≤x－2y＋1≤1， ∴|x－2y＋1|的最大值为5. 【答案】 5 14．已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋1t－6，t∈(0，＋∞)}，则集合A∩B＝________. 【解析】 |x＋3|＋|x－4|≤9， 当x<－3时，－x－3－(x－4)≤9，即－4≤x<－3； 当－3≤x≤4时，x＋3－(x－4)＝7≤9恒成立； 当x>4时，x＋3＋x－4≤9，即4 实用精品文献资料分享 2}， ∴A∩B＝{x|－2≤x≤5}． 【答案】 {x|－2≤x≤5} 15．设x∈(0，π2)，则函数y＝1＋2sin2xsin 2x的最小值为________． 【解析】 y＝2sin2x＋12sin xcos x＝32tan x＋12tan x， ∵x∈(0，π2)，∴tan x＞0. 则32tan x＋12tan x≥2 32tan x?12tan x＝3. 当且仅当tan x＝33(x＝π6)时，取等号， ∴ymin＝3. 【答案】 3 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2011?江苏高考)解不等式x＋|2x－1|＜3. 【解】 法一 原不等式可化为 2x－1≥0，x＋ － ＜3，或2x－1＜0，x－ － ＜3. 解得12≤x＜43或 －2＜x＜12. 所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜43}． 法二 由于|2x－1|＜3－x， ∴x－3＜2x－1＜3－x， 解得x＞－2且x＜43. ∴原不等式的解集是 {x|－2＜x＜43}． 17．(本小题满分12分)已知a，b为正数，求证： 1a＋4b≥9a＋b. 【证明】 ∵a＞0，b＞0， ∴(1a＋4b)(a＋b)＝5＋4ab＋ba ≥5＋2 4ab?ba＝9. 由a＋b＞0， 得1a＋4b≥9a＋b. 18．(本小题满分12分)设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 【证明】 3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2) xKb 1. Com ＝3a2(a－b)＋2b2(b－a) ＝(3a2－2b2)(a－b)． 因为a≥b＞0， 所以a－b≥0,3a2－2b2＞0， 从而(3a2－2b2)(a－b)≥0. 故3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立． 19．(本小题满分13分)(1)设x是正实数，求证：(x＋1)?(x2＋1)(x3＋1)≥8x3； (2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值． 【证明】 (1)x是正数，由重要不等式知， x＋1≥2x，1＋x2≥2x，x3＋1≥2x3， 故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2x?2x?2x3 ＝8x3(当x＝1时等号成立)． (2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．证明如下： 由(1)知，当x＞0时，不等式成立； 当x≤0时，8x3≤0， 又(x＋1)(x2＋1)(x3＋1) ＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1) ＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－12)2＋34]≥0， 此时不等式仍然成立． 20．(本小题满分13分)(2013?课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3. (1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集； (2)设a＞－1时，且当x∈[－a2，12)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围． 【解】 (1)