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习题7
7-1．如图所示的弓形线框中通有电流I，求圆心O处的磁感应强度B。 解：圆弧在O点的磁感应强度：B1??0I??0I?，方向：； 4?R6R直导线在O点的磁感应强度：B2??0I4?Rcos600[sin60?sin(?60)]?003?0I2?R?；，方向：
∴总场强：B?
?0I2R(1?)，方向?。 ?337-2．如图所示，两个半径均为R的线圈平行共轴放置，其圆心O1、O2相距为a，在两线圈中通以电流强度均为I的同方向电流。
（1）以O1O2连线的中点O为原点，求轴线上坐标为x的任意点的磁感应强度大小；
（2）试证明：当a?R时，O点处的磁场最为均匀。 解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：B?（1）左线圈在x处P点产生的磁感应强度：BP1??0IR22(R?z)22232。
?0IR2右线圈在x处P点产生的磁感应强度：BP23a2[R?(?x)2]22?0IR2?，
3a2222[R?(?x)]2，
BP1和BP2方向一致，均沿轴线水平向右，
∴P点磁感应强度：BP?BP1?BP2?（2）因为BP随x变化，变化率为
?0IR2?23??a2?3a22?[R?(x?)]2?[R?(x?)]2?；
22??2dB，若此变化率在x?0处的变化最缓慢，则O点处的dx磁场最为均匀，下面讨论O点附近磁感应强度随x变化情况，即对BP的各阶导数进行讨论。
对B求一阶导数：
53?0IR2???a2a2?5aadB22???(x?)[R?(x?)]2?(x?)[R?(x?)]2? dx22222??dB当x?0时，?0，可见在O点，磁感应强度B有极值。
dx对B求二阶导数：
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ddBd2B()?2? dxdxdx?a2a2?5(x?)5(x?)?3?0IR?11??22???? ?5757?2aaaa?[R2?(x?)2]2[R2?(x?)2]2[R2?(x?)2]2[R2?(x?)2]2????2222?2a2?R2， x?0?3?0IR7a[R2?()2]22d2B可见，当a?R时，?0，O点的磁感应强度B有极小值， 2x?0dxd2B当x?0时，
dx22d2B当a?R时，
dx2d2B当a?R时，
dx2x?0?0，O点的磁感应强度B有极大值，
?0，说明磁感应强度B在O点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀
x?0强磁场。
【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的N匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】
7-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c部分是在xoy 平面内半径为R的半圆，试求通以电流I时O点的磁感应强度。 解：∵a段对O点的磁感应强度可用有：Ba??SB?dl??0?I求得，
?0I?0Ij ，∴Ba??4?R4?Rb段的延长线过O点，Bb?0，
?0I?0I?0Ic段产生的磁感应强度为：Bc?，∴Bc????k
4?R4R4R?0I?0Ij+k，方向如图。 则：O点的总场强：BO??4?R4R
7-4．在半径R?1cm的无限长半圆柱形金属片中，有电流I?5A自下而上通过，如图所示。试求圆柱轴线上一点P处的磁感应强度的大小。
解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为dl?Rd?的长直电流， 有：dI?dld??，利用?B?dl??0?I。
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在P点处的磁感应强度为：dB??0dI?0Id?， ?22?R2?R∴dBx?dBsin???0Isin?d?，而因为对称性，By?0 22?R?0I??0Isin?d???6.37?10?5T。 那么，B?Bx??dBx?22?02?R?R
7-5．如图所示，长直电缆由半径为R1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为R2、R3的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r处的磁感应强度大小（0?r??）。 解：利用安培环路定理
?SB?dl??0?I分段讨论。
?r2I（1）当0?r?R1时，有：B1?2?r??0 2?R1∴B1??0Ir； 22?R1?0I； 2?r（2）当R1?r?R2时，有：B2?2?r??0I，∴B2?2?r2??R2I)， （3）当R2?r?R3时，有：B3?2?r??0(I?22?R3??R2?0IR3?rB??2∴3； 22?rR3?R2（4）当r?R3时，有：B4?2?r??0(I?I)，∴B4?0。
22??0Ir(0?r?R1)?2?R21???0I(R1?r?R2)??2?r则：B??
??IR2?r2?0?23(R2?r?R3)2?2?rR3?R2?(r?R3)??0
7-6．一边长为l=0.15m的立方体如图放置在均匀磁场
B?(6i?3j?1.5k)T中，计算（1）通过立方体上阴影面积的磁通量；
（2）通过立方体六面的总磁通量。 解：（1）通过立方体上（右侧）阴影面积的磁通量为
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