SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（1）（教学设计） 2．3．1平面向量基本定理；2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
[教学目标] 一、知识与能力：
1． 了解平面向量基本定理。
2．掌握平面向量基本定理，理解平面向量的正交分解及坐标表示； 3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
二、过程与方法：
体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观：
培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算 教学难点：平面向量基本定理． 一、复习回顾：
1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0
2．运算定律
??????????????????结合律：λ(μa)=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a=λa+μa， λ(a+b)=λa+λb
????3. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.
二、师生互动，新课讲解：
思考：给定平面内任意两个向量e1,e2，请作出向量3e1+2e2、e1-2e2，平面内的任一向量是否都可以用形如?1e1+?2e2
的向量表示呢？.
在平面内任取一点O，作OA?e1，OB?e2，OC?a，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N. 由向量的线性运算性质可知，存在实数?1、?2，使得OM??1e1，
ON??2e2. 由于OC?OM?ON，所以a=?1e1+?2e2，也就是说任一向量a都可以表示成?1e1+?2e2的形式.
1． 平面向量基本定理
（1）定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数?1、?2，使得
SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）
a=?1e1+?2e2.
把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. （2）向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则?AOB=?(0????180?)叫做向量a与b的夹角， 当?=0?时，a与b同向；当?=180?时，a与b反向. 如果a与b的夹角是90?，则称a与b垂直，记作a?b.
例1 （课本P94例1）已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2。
解：
变式训练1： 如图在基底e1、e2下分解下列向量： 解：AB??2e1?2e2， CD?3e1?3e2， EF??3e1?2e2， GH?6e1?3e2
2． 平面向量的正交分解及坐标表示 （1）正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. （2）向量的坐标表示
思考：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对平面直角坐标系内的每一个向量，如何表示呢？
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，则对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y使得
a=xi+yj，
把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作
SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）
a=(x,y),
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 显然，
i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
（3）向量与坐标的关系
思考：与a相等的向量坐标是什么？
向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？（多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同）
当向量起点被限制在原点时，作OA=a，这时向量OA的坐标就是点A的坐标，点A的坐标也就是向量OA的坐标，二者之间建立的一一对应关系.
例2（课本P96例2） 如图，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标. 解：a=2i+3j=(2,3), b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3) d=2i-3j=(2,-3).
变式训练2： 在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向和长度如图所示，分别求他们的坐标. 解：设a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，c=(c1,c2)，则 a1=|a|cos45?=2?22?2，a2=|a|sin45?=2??2; 223331?3b1=|b|cos120?=3??; ??????，b2=|b|sin120??3?222?2?3?1?c1=|c|cos(-30?)=4??23，c2=|c|sin(-30?)=4??????2,
2?2?因此a???333?2,2,b???,?,c?23,?2.
22?????例3：已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|?43，?xOA?60?，求向量OA的坐标.
SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）
解：设点A?x,y?，则x?43cos60??23,y?43sin60??6 即A23,6，所以OA?23,6.
变式训练3：如图，e1、e2为正交基底，分别写出图中向量a、b、c、d并分别求出它们的直角坐标.
解：a=2e1+3e2=(2,3)，b=-2e1+3e2=(-2,3)， c=-2e1-3e2=(-2,-3)，d=2e1-3e2=(2,-3).
三、课堂小结，巩固反思： 1． 平面向量基本定理； 2． 平面向量的正交分解； 3． 平面向量的坐标表示. 四、课时必记：
1、平面向量的基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数?1、?2，使得功a=?1e1+?2e2.把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2、当向量起点被限制在原点时，作OA=a，这时向量OA的坐标就是点A的坐标，点A的坐标也就是向量OA的坐标，二者之间建立的一一对应关系. 五、分层作业： A组：
1、设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )
A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等 C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)
2、已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
3、已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.2
的分解式，
????SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）
4、已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= .
5、已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线). B组： C组：