2. 5. 9 容器中某一器壁面是由有很多能穿透分子的小孔的膜构成。容器内的气体可穿过小孔逸出到容器外面的、始终维持高真空的大容器中。若容器内充满温度为室温、压强为 p0 的氦气，则一小时后容器内压强将降为p/2。已知容器内装的是压强为 p0 的氦气与氖气所组成的混合理想气体，且氦气与氖气的百分比相等，试问经一小时后氦气、氖气的分子数密度之比nHe/nNe 是多少? 试以氦气与氖气的摩尔质量之比 MHe/MNe 表示之。试问为什么要先用纯氦气测一下容器中压强降低一半所需的时间?
〖分析〗： 由于平均速率和分子质量的平方根成反比, 所以混合理想气体穿过小孔泻流到容器外面的真空中时, 质量小的分子穿过小孔的概率大, 利用这一性质可以用来分离氦、氖气体。
〖解〗： 设原纯氦气的分子数密度为n，则氦、氖混合前后其各自分子数密分别为 n/2,n1 和 n/2,n2。 对纯氦气利用气体分子碰壁数公式，可以有
?(n?vHe/4)A?dt?V?dn
（1）
其中 t0?1小时。 实际上，利用（1）式就可以确定 A/V（ 应该注意到, 膜中所有小孔的总面积 A 是不能直接测定出的 ）。
下面分别求出氦气、氖气的数密度随时间的变化关系。对于混合理想气体中的氦气有
AvHe?t0/4V?ln2?t0n1vHe1?A?dt???dnn/2n4VAvHetnn??ln1?ln4Vn/22n1
?A?vHe?t?nn1??exp?? ? （2）
24V??
利用（1）式, 并且令 t0 = 1小时, 则可以知道, 经一小时后氦气分子数密度
n1?(n/2)?exp??ln2??n/4 （3） 同理，对于氖气有：
?A?vNe?t?nn2?exp???24V??经一小时后氖气的分子数密度为
（4）
Ne?vNe?n?vHenn2?exp???ln2???22v?He?2 （5）
v?(1?)nHen1n/4?(1?vNe???2?2由此可求得
nNen2(n/2)?2?vNe/vHevHeMHe/MNe)
先用纯氦气测出氦气在容器中压强降为一半的时间，目的是通过比较可以消去 A/V 这一无法确定的系数。
2. 5. 10 试证分子束中的气体分子的平均速率及方均根速率分别为
v束?9πkT2;v束?8m4kT m〖分析〗： 由于分子束是借助容器中气体透过小孔泻流出来的分子去穿过准直狭缝而制得。泻流分子与容器内气体分子的不同在于，前者是动态的，它的平均速度（注意是平均速度而不是平均速率）不为零，因而有宏观迁移；而后者是静态的，其平均速度为零。反映在速率分布上，后者是麦克斯韦速率分布，其概率分布函数正比于 vexp(?mv/2kT)；而前者是动态的, 速率大的分子逸出小孔的概率大些, 所以概率分布函数正比于
22v3exp(?mv2/2kT) [ 请注意：这里是 v3,而不是v2 ]。所以分子束
的速率分布函数可以写为
F(v)dv?Av3exp(?mv2/2kT)dv其中A 为归一化系数. 通过归一化可以求得
A?m2/2(kT)2
这说明分子束的速率分布为
F(v)dv?[m2/2(kT)2]?v3exp(?mv2/2kT)dv
〖解〗： 利用分子束的速率分布可求得分子束的平均速率及速率的平方平均值分别为:
v束??[m2/2(kT)2]?v?v3exp(?mv2/2kT)dv?9πkT/8m0?v束??[m2/2(kT)2]v2?v3exp(?mv2/2kT)dv?4kT/m
02?方均根速率为 v束?
24kT/m
2. 5. 11 从一容器壁的狭缝射出一分子束，（1）试求该分子束中分子的最概然速率 vp 和最概然能量 ?p。 （2）求得的 vp 和 ?p 与容器内的 vp 和 ?p 是否相同，为什么? （3）?p 是否等于 (mvp/2)，为什么？
〖解〗：（1）由上题的分子束的速率分布函数
2F(v)dv?[m2/2(kT)2]?v3exp(?mv2/2kT)dv
可以得到分子束中分子的最概然速率 vp：
d[m2/2(kT)2]?v3exp(?mv2/2kT)v?vp?0 dv?? vp?3kT/m
把分子束的速率分布函数化为分子束按照能量分布的函数：
F(?)d??[1/2(kT)2]?exp(??/kT)d(m2v4/4)
?[1/2(kT)2]?exp(??/kT)d?2?[2?/2(kT)]exp(?2?kT)d?
dF(?)?d[[2?/2(kT)2]exp(??/kT)?0
得到最概然能量
?p?kT
（2）我们看到, 求得的分子束的 vp1 和 ?p1 与容器内气体分子的
vp2 和 ?p2 不同。容器内气体是处于静态的，而分子束中的气体分子是处
于动态的，所以容器内气体速率分布不同于分子束中分子的速率分布。
（3）我们也看到
vp1?3kT/m?2kT/m?vp2 ,
?p1?kT?kT/2??p2 ,
也是因为分子束中的气体分子是处于动态的，而容器内气体是处于静态的。
2. 5. 12 暴露在分子质量为 m、分子数密度为 n、温度为 T 的理想气体中干净的固体表面以某一速率吸收气体分子 (其单位为分子数／秒·米
2
)。若固体对撞击到表面上的, 其速度法向分量小于 vr 的分子的吸收概率
〖解〗：若以固体表面的法向定为 x 方向, 按照题义, 所有速度分量
为零，而对大于 vr 的分子的吸收概率为1 , 试求吸收速率的表达式。
vy,vz 为任意, 而法向分量 vx 大于 vr 的分子撞击到表面上都能够被吸
收, 但是其速度法向分量小于 vr 的分子的吸收概率为零。我们从气体分子碰壁数公式的推导过程中就可以知道其总的吸收概率为：
???vrF(vx)dvx??nf(vx)vxdvxvr
???vr?m?n??2πkT????121/2?mvx2?? ?exp???2kT?vxdvx????mv2?n?m??2kT???? ?? ????exp?????2?2πkT??m??2kT?vrmvr2kT?exp(?) ?n2πm2kT
2 ． 6 ． 1 试证若认为地球的大气是等温的 , 则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。
〖分析〗： 在离地高为 z~z?dz 的范围内的球壳体积为
[ 说明：这是因为地球大气标高只有 8 km, 它比地球半径 RE 要小得多, 所以那一层球壳相对于地球来讲相当于一层“纸”。而“纸”的体积就等于球面面积再乘以“纸”的高度。]
当然, 我们也可以如下更清楚地求出：
dV(z)?4π(RE?z)2dz （1）
dV(z)??4π[(z?dz?RE)3?(z?RE)3]34π[3(z?RE)2?dz?3(z?RE)?dz2?dz3] 3dV(z)?4π(z?RE)2dz
忽略dz 的二次方和三次方项, 同样有
〖解〗： 若设在海平面处的气体分子数密度 为n (0) , 在球壳体积
dV( z ) 范围内的分子数
dN(z)?dV(z)?n(z)?4π(z?RE)2dz?n(0)?exp(?Mmgz/RT)
令 RT/Mmg?H 称为大气标高, 设在海平面处的气体分子数密度为n(0)，所有大气的总分子数为N，则：
??N?n(0)??04π(z2?2zRE?RE)?exp(?Mmgz/RT)dz2N?4πn(0)[?0zexp(?z/H)dz?2RE??20zexp(?z/H)dz
z)]dz0HkT2kTkT212?n(0)?4πRE?[1??2()?2]mgmg?REmgRE2?RE?exp(?
（2）
现在来估计 kT/mgRE 的数量级。设地球大气为平均温度 T = 273 K 的等温大气，而且RE?6.4?10km,m?29?1.67?106?27kg
kT1.38?10?23?273（3） ??0.00124??1 ?276mgRE29?1.67?10?9.8?6.4?10利用（3）式可以看到,（2）式的方括号中的第二项比第一项小3个数量级, 第三项又比第二项小3个数量级。我们完全可以忽略其中的第二项和第三项。 显然，用近似方法进行计算要简便得多。 这时
N?n(0)4πRE(2kT2)?n(0)?4πRE?H mg其中 H 为大气标高。由此看来，把地球的所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。