1.1.3 集合的基本运算
课堂导学
三点剖析
一、交集、并集、补集的概念与运算
【例1】 若全集U={x|x≤9,x∈N},M={1,7,8},P={2,3,5,7},S={1,4,7},则(M∪P)∩(=__________________.
解析：U={x|x≤9,x∈N}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},(M∪P)∩(
*
*
S)
S)={2,3,5,8}.
答案：{2,3，5,8} 温馨提示
1.进行集合运算应首先要弄清楚各集合是由什么元素构成的，然后再根据交集、并集、补集的概念进行运算.
2.集合间的包含关系的判断及集合的运算一般使用韦恩图. 【例2】 已知全集U=R，A={x|-4 1},B={x|x+4≤0},C={x|2x≥1},则集合C等于（ ） 2(A∩B) D. (A∪B) A.A∩B B.A∪B C. 解析：利用数轴解决有关不等式的数集运算是最有效的工具，借助数轴易得A∩B=?，A∪B={x|x< 1},所以C=(A∪B). 2答案：D 温馨提示 数集的运算一般使用数轴. 二、交集与并集的概念符号之间的区别与联系 2 【例3】 已知A={y|y=x-2,x∈R},B={y|y=x,x∈R}.求A∩B，A∪B. 思路分析：本题注重考查集合概念及运算，其中集合中的元素y的本质是许多同学认识不足的，它其实是函数的因变量，集合为函数因变量的取值集合. 2 解：A={y|y=x-2,x∈R}={y|y≥-2},B={y|y=x}=R,则A∩B={y|y≥-2},A∪B=R. 温馨提示 1.对于描述法给出的集合，要抓住竖线前的代表元素及它具有的性质再进行运算. 2.本题中的两个集合都是数集，且是每个函数的函数值构成的集合. 三、集合运算性质的运用 2 【例4】 集合A={x|x-3x+2=0},B={x|ax-2=0},若A∪B=A，则a能取到的所有值的集合为_ ______________. 解析：处理此类问题有两处值得同学们注意，一是明确A∪B=A?B?A；二是B={x|ax=2} 2}，要注意对a是否为0进行讨论. a2 A={x|x-3x+2=0}={1,2},A∪B=A?B?A.因此集合B只能为单元素集或?. ≠{x|x= 当B={1}时，即1∈B={x|ax-2=0},得a=2; 同理，当B={2}时，得a=1; 当B=?时，即ax=2无解，得a=0. 综上，a能取到的值所组成的集合为{0,1，2}. 1 答案：{0,1，2} 温馨提示 1.A∪B=A?B?A,A∩B=A?A?B两个性质常常作为“等价转化”的依据，要特别注意当A?B时，往往需要按A=?和A≠?两种情况分类讨论，而这一点却很容易被忽视.如本题中由B?A应分B=?和B≠?两种情况考虑，尽管本题中B=?不适合题意，但也不要遗漏这种情况. 2.要注重集合语言与数学文字语言之间的转化. 各个击破 类题演练1 设全集U=N，P={2n|n∈N},Q={x|x=4n,n∈N},则N可以表示为（ ） A.P∩Q B.(解析： P)∪Q C.P∪( Q=N. Q) D.( P)∪( Q) Q如图所示的阴影部分，∴P∪ 答案：C 变式提升1 设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，|a-5|,9}, A={5,7},则a的值是（ ） A.2 B.8 C.-2或8 D.2或8 解析：∵由条件得|a-5|=3， ∴a=2或8. 答案：D 类题演练2 已知全集U=R，集合A={x|x<1或x>2}，集合B={x|x<-3或x≥1},求A,B,A∩B,A∪B. 解析：借助于数轴，由右图可知A={x|x≥1且x≤2}={x|1≤x≤2};B={x|x≥-3且x<1} ={x|-3≤x<1}; A∩B={x|x<1或x>2}∩{x|x<-3或x≥1}={x|x<-3或x>2};A∪B={x|x<1或x>2}∪{x|x<-3或x≥1}=R. 变式提升2 集合M={x|-1≤x≤2},N={x|x-a≥0},若M∩N≠?，则实数a的取值范围是_____________. 解析：由图示可知a≤2. 答案：a≤2 类题演练3 2 已知A={y∈N|y=x-4x+10},B={y∈N|y=-x-2x+12},求A∩B. 解析：∵A={y|y≥6,y∈N},B={y|y≤13,y∈N}, ∴A∩B={y∈N|6≤y≤13}. 答案：{y|6≤y≤13,y∈N} 变式提升3 (2006江苏高考，7)若A、B、C为三个集合，A∪B=B∩C,则一定有（ ） A.A?C B.C?A C.A≠C D.A=? 解析：画出韦恩图可知A成立. 答案：A 类题演练4 2 若集合P={1，2，3，m}，Q={m,3},满足P∩Q=Q，求m的值. 解析：∵P∩Q=Q,∴Q?P, ∴m=1或m=2或m=m,解得m=±1或±2或0. 2 2 2 22 经检验m=1时，不满足集合P中元素的互异性，∴m=-1或±2或0. 答案：-1或±2或0 变式提升4 设集合M={x|x<3},N={x|x>-2},Q={x|x-a≥0},令P=M∩N. (1)求集合P； (2)若P?Q，求实数a的取值范围； (3)若P∩Q={x|0≤x≤3}，求实数a的取值范围； (4)若P∩Q=?，求实数a的取值范围. 解析：(1)P=M∩N={x|x<3}∩{x|x>-2}={x|-2 〔利用数轴作为工具分别对(2)(3)(4)进行分析，注意对端点处进行讨论〕 (2)当a<-2时，满足题意； 当a=-2时，Q={x|x≥-2}，也有P?Q. 所以a≤-2. (3)由于a是可变的实数，因此，若P∩Q={x|0≤x≤3}，从数轴上观察，a能且只能取0，所以a=0. (4)若要P∩Q=?，通过数轴观察知，当a>3时，P∩Q=?；当a=3时，Q={x|x-3≥0}={x|x≥3},P∩Q={x|-2 3