滚动小专题(二) 方程、不等式的解法
类型1 方程(组)的解法 1．解方程(组)： (1)4x－3＝2(x－1)；
解：去括号，得4x－3＝2x－2. 移项，得4x－2x＝－2＋3. 合并同类项，得2x＝1.
系数化为1，得x＝1
2.
(2)23x＝x＋1
； 解：方程两边同乘x(x＋1)，得2(x＋1)＝3x. 去括号，得2x＋2＝3x. 移项，得2x－3x＝－2. 合并同类项，得－x＝－2. 系数化为1，得x＝2.
检验，当x＝2时，x(x＋1)≠0. ∴x＝2是原分式方程的根．
(3)???2x＋y＝4，①??
x－y＝－1；② 解：①＋②，得2x＋y＋x－y＝4－1.解得x＝1. 把x＝1代入①，得2＋y＝4.解得y＝2.
∴原方程组的解是???x＝1，
??
y＝2.
(4)2x2
－4x－1＝0；
解：x2
－2x－12＝0.
(x－1)2
＝32.
x＝1±
62
. ∴x61＝1＋2，x＝1－622
.
(5)11－x
x－2＋2＝2－x
. 解：方程两边同乘x－2，得1＋2(x－2)＝x－1. 解得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0. 所以x＝2不是原方程的解． ∴原方程无解．
1
类型2 不等式(组)的解法 2．解不等式(组)： (1)4x＋5≤2(x＋1)；
解：去括号，得4x＋5≤2x＋2. 移项、合并同类项，得2x≤－3.
解得x≤－3
2.
(2)???3x－1≥x＋1，①? ?
x＋4<4x－2；②解：解不等式①，得x≥1. 解不等式②，得x＞2. ∴不等式组的解集为x＞2.
?2x－7<3（x－1），①(3)???4 ?3
x＋3≤1－2
3x.②解：解不等式①，得x＞－4. 解不等式②，得x≤－1.
∴不等式组的解集是－4＜x≤－1.
3．解不等式：2x－1＞3x－1
2
，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母，得4x－2＞3x－1. 解得x＞1.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
4．解不等式组：???2x≥－9－x，
??
5x－1>3（x＋1），并把它的解集在数轴上表示出来．
解：解不等式2x≥－9－x，得x≥－3.
解不等式5x－1＞3(x＋1)，得x＞2. 则不等式组的解集为x＞2. 将解集表示在数轴上如下：
2
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5．x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与2x≤2－2
x都成立？
?5x＋2>3（x－1），①解：联立不等式组?
??1?2x≤2－3
2x，② 解不等式①，得x>－5
2.
解不等式②，得x≤1. ∴－5
2
故满足条件的整数有－2，－1，0，1. 类型3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 6．已知关于x的方程x2 ＋mx＋m－2＝0. (1)若此方程的一个根为1，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 解：(1)把x＝1代入方程x2 ＋mx＋m－2＝0，得 1＋m＋m－2＝0.解得m＝1 2 . (2)证明：∵Δ＝m2 －4(m－2)＝(m－2)2 ＋4≥4>0. ∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 7．已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2 ＝0①有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围； (2)设方程①的两个实数根分别为xk＝1时，求x22 1，x2，当1＋x2的值． 解：(1)∵x2＋(2k＋1)x＋k2 ＝0①有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(2k＋1)2－4k2 >0. ∴k>－14 . (2)当k＝1时，原方程为x2 ＋3x＋1＝0. ∵x1，x2是该方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可知x1＋x2＝－3，x1x2＝1. ∴x2222 1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝(－3)－2×1＝7. 8．已知关于x的方程(x－3)(x－2)－p2 ＝0. (1)求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程两实数根分别为x，且满足x22 1，x21＋x2＝3x1x2，求实数p的值． 解：(1)证明：∵(x－3)(x－2)－p2 ＝0， ∴x2－5x＋6－p2 ＝0. ∴Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝1＋4p2 . ∵无论p取何值时，总有4p2 ≥0， ∴1＋4p2 ＞0. ∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根． (2)由(1)，得xx2 1＋x2＝5，1x2＝6－p， 3