一课一测
一、选择题
1.关于正多面体的概念，下面叙述中正确的是（ ） A.每个面都是正多边形的多面体
B.每个面都是有相同边数的正多边形的多面体 C.每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的多面体
D.每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体
2.下列命题中，假命题是（ ）
①多面体的面数最少是4 ②正多面体只有5种 ③凡凸多面体都是简单多面体 ④一个几何体的表面经过连续变形能变为球面的就叫简单多面体
A.③ B.②③ C.④ D.③④
3.设正多面体的每个面都是正n边形，以每个顶点为端点的棱有m条，顶点数是V，棱数是E，面数是F，则它们之间的关系不正确的是（ ）
A.mF=2E B.nF=2E C.mV=2E D.V+F=E+2 4.正十二面体的顶点V和棱数E分别是（ ） A.V=30 E=20 B.V=12 E=30 C.V=30 E=12 D.V=20 E=30
5.如图9－研－6，正方体的棱长为3 cm，在每一个面的正中间有一个正方形孔通到对面，孔的边长为1 cm，孔的各棱平行于正方体的各棱，则此时该几何体的总表面积为（ ）
图9－研－6
A.54 cmB.72 cm2
C.76 cm2 D.84 cm2
6.图9－研－7中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的点A作截面AB1C1D1而截得的，且B1B=D1D.已知截面AB1C1D1与底面ABCD成30°的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为（ ）
2
C1D1D图9－研－7
B1C6A.
2
A B.
6B 366 D. 46二、填空题
7.一个简单多面体的各面都是三角形，它的顶点数为12，则它的面数为 .
8.每个面都是正三角形，每个顶点出发都有三条棱的多面体，其面数F= ，顶点数V= ，棱数E= . 9.棱长为a的正八面体的对角线长为 . 10.已知一个正多面体的体积为V，它的一个侧面面积为S，则由正多面体内一点到各侧面的距离之和等于 .
三、解答题
11.C70分子有类似于C60的球状多面体结构，它有70个顶点，每个顶点处有3条棱，各个面是五边形或六边形，试求C70分子结构中，有多少个五边形，有多少个六边形？
12.一个正多面体，各个面的内角总和为3600°，求它的面数、顶点数和棱数. 13.四面体ABCD的6条棱中除AD外，其他5条棱的长度均为1. （1）当AD长度变化时，求四面体全面积的最大值；
（2）当此四面体全面积最大时，平面ABD与平面ACD的位置关系如何？
C.
参 考 答 案 一、1.D 2.C 3.A 4.D 5.B 6.D 3V S11.解：设C70分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和y个，则 二、7.20 8.4 4 6 9.2 a 10.1?70?(x?y)?(3?70)?2,??2三、? 11?(5x?6y)?(3?70),?2?2解得x=12，y=25. ∴有12个五边形，25个六边形. 12.解：设正多面体共有n个面，每边是m边形，则 3600?（m－2）·180°=， n20∴m－2=. n∵m只能为3，4，5，n只能为4，6，8，12，20， ∴n=20,m=3 故该正多面体是正20面体. 面数F=20，顶点数V=12，棱数E=30. 13.解：（1）当∠ABD=∠ACD=90°时， 四面体的全面积最大，为（2）设AD的中点为E， 则BE⊥AD，CE⊥AD，BE=CE=3+1. 22，BC=1. 2∴∠BEC=90°. ∴B－AD－C是直二面角. ∴平面ABD⊥平面ACD.