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近世代数复习提纲
群论部分
一、基本概念
1、群的定义（四个等价定义） 2、基本性质
（1）单位元的唯一性； （2）逆元的唯一性； （3）(ab)?1?b?1a?1,(a?1)?1?a；
（4）ab?ac?b?c；
（5）ax?b?x?a?1b；ya?b?y?ba?1。 3、元素的阶
使am?e成立的最小正整数m叫做元素a的阶，记作|a|?m；若这样的正整数不存在，则称a的阶是无限的，记作|a|??。
（1）|a|?|a?1|,|a|?|g?1ag|(?g?G)。
（2）若am?e，则 ①|a|?m；
②|a|?m?由an?e可得m|n。
（3）当群G是有限群时，?a?G，有|a|??且|a||G|。 （4）|a|?n?|ar|?r|n，其中d?(r,n)。 dnrdrnd证明 设|a|?k。因为(a)?(a)?e，所以kn。 dnrrnk，又(,)?1，dddd另一方面，因为(ar)k?ark?e，所以nrk，从而
nnk，故k?。 dd所以
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注：1? |ab|?|a||b|，但若ab?ba，且|(,||a则有|ab|?|a||b（。 )|1b?，|P70.3）2? |G|????a?G,|a|??；但?a?G,|a|????|G|??。
例1 令G?{a?C|?n?Z,?an?1}，则G关于普通乘法作成群。显然，1是G的单位元，所以?a?G，有|a|??，但|G|??。 二、群的几种基本类型
1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。 2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。
3、变换群：集合A上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A上的变换群。
（1）变换群的单位元是A的恒等变换。
（2）A的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A上最大的变换群。 （3）一般地，变换群不是交换群。 （4）任一个群都与一个变换群同构。
4、置换群：有限集合A上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。
例2 设??(123),??(13)(24)是S5中元素，求??。
?12345??12345??12345??12345?解 ???(123)(13)(24)???????????(142)
?23145??32145??14325??41325?（1）n元集合A的所有置换作成的置换群，叫做n次对称群，记作Sn。 （2）|Sn|?n!。
（3）每个n元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。 （4）(i1i2ik)?1?(iki2i1)。
（5）任一有限群都与一个置换群同构。
5、循环群：若群G中存在元素a，使得G?(a)?{an|n?Z}，则称G是循环群。
（1）循环群是交换群（P61.1）。 （2）素数阶群是循环群（P70.1）。
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（3）循环群的子群是循环群（P65.4）。
（4）当|G|??时，G?Z?G?{,a?2,a?1,e?a0,a,a2, 当|G|?n时，G?Zn?G?{e?a0,a,a2,（5）|G|?|a|
（6）当|G|??时，G有且仅有两个生成元a,a?1；
当|G|?n时，G有且仅有?(n)个生成元，这里?(n)表示小于n且与
n互素的正整数个数。且当(m,n)?1时，am是G的生成元。
}；
,an?1}。
（7）若G与G同态，则 1? G也是循环群； 2? 当?(a)?a时，G?(a)； 3? G的阶整除G的阶。 例3（P79、3） 三、子群
1、定义：设H是群G的非空子集，若H关于G的于是也构成群，则称H是G的子群，记作H?G。 2、等价条件
（1）群G的非空子集H是子群??a,b?H，有ab,a?1?H ??a,b?H，有ab?1?H （2）群G的非空有限子集H是子群??a,b?H，有ab?H。 3、运算
（1）若H1,H2?G，则H1（2）若H1,H2?G，则H1H2?G（可推广到任意多个情形）。 H2未必是G的子群。
（3）若H1,H2?G，则H1H2?{h1h2|h1?H1,h2?H2}未必是G的子群。 （4）若H1,H2?G，则H1?H2不是G的子群。
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