高三数学高考数学二轮复习第一部分专题一第六讲导数的应用(二)

[限时规范训练] 单独成册 A组——高考热点强化练

一、选择题

1.设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且2f(x)＋xf′(x)>x2,下面的不等式在R上恒成立的是( ) A.f(x)>0 C.f(x)>x

B.f(x)<0 D.f(x)

11

解析:可令f(x)＝2x2＋2,则f(x)满足条件,验证各个选项,知B、C、D都不恒成立,故选A. 答案:A

2.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x＋1)·f′(x)≥0,则有( ) A.f(0)＋f(－2)<2f(－1) B.f(0)＋f(－2)≤2f(－1) C.f(0)＋f(－2)>2f(－1) D.f(0)＋f(－2)≥2f(－1)

解析:由题意得,当x≥－1时,f′(x)≥0,当x≤－1时,f′(x)≤0,∴f(x)的最小值为f(－1),即对任意实数x,都有f(x)≥f(－1),∴f(0)≥f(－1),f(－2)≥f(－1),∴f(0)＋f(－2)≥2f(－1),故选D. 答案:D

3.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0,且f(－3)＝0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是( ) A.(－3,0)∪(3,＋∞) B.(－3,0)∪(0,3) C.(－∞,－3)∪(3,＋∞) D.(－∞,－3)∪(0,3)

解析:设h(x)＝f(x)g(x),又h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0知x<0时,h(x)为增函数,又f(x),g(x)分别是奇函数和偶函数,∴h(x)为奇函数且在(0,＋∞)上为增函数,且h(3)＝0,所以f(x)g(x)<0的解集为(－∞,－3)∪(0,3),故选D. 答案:D

1

4.已知f(x)是定义在R上的函数,f′(x)是f(x)的导函数,且f′(x)<2,f(1)＝1,则不等x1

式f(x)<2＋2的解集为( ) A.{x|x<－1} C.{x|x<－1或x>1}

x1x1

解析:∵f(x)<2＋2,∴f(x)－2<2. x1

令g(x)＝f(x)－2,∵g(1)＝2, ∴g(x)

1

∵g′(x)＝f′(x)－2<0,∴g(x)为减函数,∴x>1. 答案:B

f?x?

5.已知函数y＝f(x)是R上的可导函数,当x≠0时,有f′(x)＋x>0,则函数F(x)＝1

xf(x)＋x的零点个数是( ) A.0 C.2

解析:当x≠0时,f′(x)＋

f

B.1 D.3

xf′x＋fxx＝x

x＝[xf

x]′

>0,当x>0时,[xf(x)]′>0,x

B.{x|x>1} D.{x|－1

则h(x)＝xf(x)在(0,＋∞)上为增函数,且h(0)＝0,∴h(x)＝xf(x)＞0在(0,＋∞)上恒成1

立,又x>0,∴F(x)>0在(0,＋∞)上恒成立,即F(x)在(0,＋∞)上无零点.当x<0时,[xf(x)]′<0,∴h(x)＝xf(x)在(－∞,0)上为减函数,且h(0)＝0,∴h(x)＝xf(x)>0在(－11

∞,0)上恒成立,所以F(x)＝xf(x)＋x在(－∞,0)上为减函数,当x→0时,xf(x)→0,x→－1

∞,则F(x)<0,x→－∞时,x→0,F(x)≈xf(x)＞0,∴F(x)在(－∞,0)上有唯一零点.综上所述,F(x)在(－∞,0)∪(0,＋∞)上有唯一零点,故选B. 答案:B

6.若?x,y∈[0,＋∞),不等式4ax≤ex＋y－2＋ex－y－2＋2恒成立,则实数a的最大值是( )

1A.4 C.2

B.1 1D.2

解析:ex＋y－2＋ex－y－2＋2＝ex－2(ey＋e－y)＋2≥2(ex－2＋1),当且仅当y＝0时等号成立.由2(e

x－2

1＋ex－21＋ex－2ex－2?x－1?－1

＋1)≥4ax,得2a≤x.令g(x)＝x,则g′(x)＝,可得

x2g′(2)＝0,且在(2,＋∞)上,g′(x)>0,在[0,2]上,g′(x)<0,故g(x)的最小值为g(2)＝1,1

所以2a≤1,即a≤2.故选D. 答案:D

7.设a>b>1,则下列不等式成立的是( ) A.aln b>bln a C.aeb>bea

B.aln b

1－ln xln x

解析:令f(x)＝x(x>0),则f′(x)＝x2,令f′(x)＝0,则x＝e,当x∈(0,e)时,1－ln x>0,f′(x)>0；当x∈[e,＋∞)时,1－ln x≤0,f′(x)≤0,∴函数f(x)的增区间为(0,e),ln bln a

减区间为[e,＋∞),又e∈(1,＋∞),∴当e>a>b时,f(b)

而a>b>e时,abln a,故A,B不正确.令g(x)＝x,同理可知函数g(x)eaeb

的增区间为[1,＋∞),减区间为(－∞,0),(0,1),∴当a>b>1时,g(a)>g(b),即a>b,即aeb

8.设函数y＝f(x),x∈R的导函数为f′(x),且f(x)＝f(－x),f′(x)

－

B.e－1f(1)

f′?x?－f?x?f?x?

解析:本题考查导数在函数中的应用.设g(x)＝ex,则g′(x)＝,又因为

ex