由csinB=bcosC-π
√3
6及正弦定理得sinCsinB=sinB2
cosC+12sinC.
因为sinB>0,
化简得1√32sinC-2cosC=0,即tanC=√3. 因为0
3.
(2)由余弦定理得c2=a2+b2
-2abcosπ
2
3=3b, 所以a2
=b2
+c2
,故A=π
2, 即△ABC是直角三角形.
由(1)知△ACD是等边三角形,且AD=CD=AC=1,∠CAD=π
3,DE=2,所以AE=3.在△ACE中,CE2
=AE2
+AC2-2AE·ACcosπ
3=7,CE=√7, 故E,C两点的距离为√7.
3.(2019江苏南通通州高三调研)已知函数f(x)=sin xcos x+√3sin 2
x-√32
.
(1)若x∈0,π
2,求函数f(x)的值域;
(2)在△ABC中,已知C为锐角,f??1π
2
=-2,AB=3,A=4,求边BC的长.
解 (1)f(x)=sinxcosx+√3sin2x-√3
=1
sin2x+√
3(1-cos2??)
3
22
2
?
√2
=sin2x-π
3.
∵x∈0,π
2,
∴2x-π
π2π
3∈-3,
3
,
∴-√32≤sin2x-π
3≤1,
6
即函数f(x)的值域是-√3
2,1.
(2)由(1)可知f??1π
2
=-2=sinC-3.
∵C为锐角,∴C-π
-ππ
3∈3,
6
,
易知C-π
π
π
3
=-6
,可得C=6
.
在△ABC中,AB=3,A=π
4
, 由正弦定理,可得????????sin??=sin??, 即
3
sin
π=
????,解得BC=3√2.
6
sin
π4
4.
如图,在平面四边形ABCD中,AB=2√3,AC=2,∠ADC=∠CAB=90°,设∠DAC=θ.(1)若θ=60°,求BD的长度; (2)若∠ADB=30°,求tan θ. 解 (1)由题意可知,AD=1.
在△ABD中,∠DAB=150°,AB=2√3,AD=1,由余弦定理可知,
BD2=(2√3)2+12-2×2√3×1×-√3
2=19,BD=√19.
(2)由题意可知,AD=2cosθ,∠ABD=60°-θ, 在△ABD中,由正弦定理可知,????????sin∠??????=sin∠??????,
7
∴2cos??2
sin(60°-??)=4√3,∴tanθ=3√3.
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=2B. (1)求证:a2
=b(b+c);
(2)若△ABC的面积为1
a2
4
,求B的大小.
(1)证明 由A=2B,可得sinA=sin2B=2sinBcosB,
又由正、余弦定理得a=2b·
??2+??2-??22????,有(c