由csinB=bcosC-π
√3
6及正弦定理得sinCsinB=sinB2
cosC+12sinC.
因为sinB>0,
化简得1√32sinC-2cosC=0,即tanC=√3. 因为0 3. (2)由余弦定理得c2=a2+b2 -2abcosπ 2 3=3b, 所以a2 =b2 +c2 ,故A=π 2, 即△ABC是直角三角形. 由(1)知△ACD是等边三角形,且AD=CD=AC=1,∠CAD=π 3,DE=2,所以AE=3.在△ACE中,CE2 =AE2 +AC2-2AE·ACcosπ 3=7,CE=√7, 故E,C两点的距离为√7. 3.(2019江苏南通通州高三调研)已知函数f(x)=sin xcos x+√3sin 2 x-√32 . (1)若x∈0,π 2,求函数f(x)的值域; (2)在△ABC中,已知C为锐角,f??1π 2 =-2,AB=3,A=4,求边BC的长. 解 (1)f(x)=sinxcosx+√3sin2x-√3 =1 sin2x+√ 3(1-cos2??) 3 22 2 ? √2 =sin2x-π 3. ∵x∈0,π 2, ∴2x-π π2π 3∈-3, 3 , ∴-√32≤sin2x-π 3≤1, 6 即函数f(x)的值域是-√3 2,1. (2)由(1)可知f??1π 2 =-2=sinC-3. ∵C为锐角,∴C-π -ππ 3∈3, 6 , 易知C-π π π 3 =-6 ,可得C=6 . 在△ABC中,AB=3,A=π 4 , 由正弦定理,可得????????sin??=sin??, 即 3 sin π= ????,解得BC=3√2. 6 sin π4 4. 如图,在平面四边形ABCD中,AB=2√3,AC=2,∠ADC=∠CAB=90°,设∠DAC=θ.(1)若θ=60°,求BD的长度; (2)若∠ADB=30°,求tan θ. 解 (1)由题意可知,AD=1. 在△ABD中,∠DAB=150°,AB=2√3,AD=1,由余弦定理可知, BD2=(2√3)2+12-2×2√3×1×-√3 2=19,BD=√19. (2)由题意可知,AD=2cosθ,∠ABD=60°-θ, 在△ABD中,由正弦定理可知,????????sin∠??????=sin∠??????, 7 ∴2cos??2 sin(60°-??)=4√3,∴tanθ=3√3. 5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=2B. (1)求证:a2 =b(b+c); (2)若△ABC的面积为1 a2 4 ,求B的大小. (1)证明 由A=2B,可得sinA=sin2B=2sinBcosB, 又由正、余弦定理得a=2b· ??2+??2-??22????,有(c-b)(a2-b2 -bc)=0.当b≠c时,a2-b2-bc=0,即a2=b2 +bc=b(b+c). 当b=c时,B=C.又A=2B, ∴A=90°,B=C=45°. ∴a=√2b,∴a2-b2-bc=(√2b)2-b2-b·b=0, ∴a2=b2+bc. 综上,当A=2B时,a2 =b2 +bc. (2)解 ∵S11 △ABC=2acsinB=4a2 , ∴csinB=1 2a, ∴sinCsinB=1 2sinA. 又A=2B,∴sinCsinB=sinBcosB. ∵sinB≠0,∴sinC=cosB. 8 又B,C∈(0,π),∴C=π 2 ±B. 当B+C=π??π 2时,B=2=4; 当C-B=π 时,B=π 2 8 ; ∴B=ππ 4或B=8. 6.在△ABC中,记内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知B为锐角,且acos B+bsin B=c.(1)求角C. (2)若B=π3,延长线段AB至D,使得CD=√3,且△ACD的面积为3 4√3,求线段BD的长度. 解 (1)由正弦定理可知sinAcosB+sin2 B=sinC. ∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, ∴sin2B=cosAsinB. ∴B∈0,π 2,sinB>0, ∴sinB=cosA,即cosπ2 -B=cosA. ∴A∈(0,π),ππ 2-B∈0,2, ∴π π π 2-B=A,即A+B=2.∴C=2. (2)设BD=x,CB=a. ∵∠ABC=ππ 3,∠ACB=2, ∴AC=√3a,AB=2a,AD=2a+x. ∴S1 △ACD=2AC·AD·sinA 9 =2×√3a×(2a+x)×2=4√3, 即a(2a+x)=3. 在△BCD中,由余弦定理可得 113 ① CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos∠DBC, 即x+a+ax=3. 联立①②可解得x=a=1.即BD=1. 2 2 ② 命题角度2解三角形中的最值与范围问题 高考真题体验·对方向 ??+??2 (2019全国Ⅲ·18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin (1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围. 解 (1)由题设及正弦定理得 sinAsin ??+??2 =bsin A. =sinBsinA. ??+??2 因为sinA≠0,所以sin=sinB. =cos2, ??由A+B+C=180°,可得sin故cos2=2sin2cos2. ????????+??2 因为cos2≠0,故sin2=2,因此B=60°. ????1 (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=4a. 10 √3