由正弦定理得a=??sin??sin(120°-??)
√3sin??=
sin??=
12tan??+2
.由于△ABC为锐角三角形,
故0° 由(1)知A+C=120°,所以30° 故1 8 . 因此,△ABC面积的取值范围是(√3√38,2). 典题演练提能·刷高分 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C-sin B).(1)求A. (2)若a=4,求b2 +c2 的取值范围. 解 (1)根据正弦定理,得(a+b)(a-b)=c(c-b), 即a2 -b2 =c2-bc, 则??2+??2-??211 2????=2,即cosA=2. 由于0 3. (2)根据余弦定理,a2 =b2 +c2 -2bccosπ 3, 所以b2+c2 =16+bc≤16+??2+??2 2 , 则有b2+c2≤32.又b2+c2 =16+bc>16, 所以b2 +c2 的取值范围是(16,32]. 2.(2019北京房山高三模拟)已知在△ABC中,a2 +c2 -ac=b2 . 11 (1)求角B的大小; (2)求cos A+cos C的最大值. 解 (1)由余弦定理得 cosB=??2+??2-??2 ????1 2????= 2????=2 . 因为角B为三角形的内角,故∠B=π3 . (2)由(1)可得A+C=π-B=2π3 ,∴A=2π3 -C. ∴cosA+cosC=cos 2π3 -C+cosC =cos 2π3 cosC+sin 2π3 sinC+cosC =-1 2·cosC+√32 ·sinC+cosC =√3·sinC+1 2 2·cosC =cosπ ·sinC+sinπ π 66·cosC=sinC+6. ∵0 ,∴π π 5π6 6 . ∴1π 2 故cosA+cosC的最大值是1. 3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,且2bcos B=acos C+ccos A. (1)求B的大小; (2)求△ABC面积的最大值. 解 (1)由2bcosB=acosC+ccosA,可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinB,∵sinB≠0, 12 ∴cosB=2,∴B=3. (2)方法一:由b=2,B=3,根据余弦定理可得ac=a+c-4,由基本不等式可得ac=a+c-4≥2ac-4,所以ac≤4,当且仅当a=c时,等号成立. π 2 2 2 2 1π 从而S△ABC=2acsinB≤2×4×2=√3, 故△ABC面积的最大值为√3. ??sin??11√3方法二:因为= ??sin??= ??sin??= 2√32 = 4√3, 所以a=3sinA,c=3sinC, √√1 1 4444S=2acsinB=2×√3sinA·√3sinC·sinB =4√3sinAsin 3 2π3 -A=2√3cos2A-3π+√3, 3 3 π 2 当2A-3π=0,即A=3时,Smax=√3, 故△ABC面积的最大值为√3. π 2 4.(2019山西太原高三期末)已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,bsin A=acosB-6. (1)求角B的大小; (2)若b=2,求△ABC面积的最大值. 解 (1)在△ABC中,由正弦定理sin??=sin??,可得bsinA=asinB, π π ????∵bsinA=acosB-6,∴asinB=acosB-6, 即sinB=cosB-6,整理得tanB=√3, 13 π ∵B∈(0,π),∴B=3. (2)由(1)及正弦定理,得4=a+c-2ac·cos3,即ac=a+c-4, 2 2 π π 22 ∵a2+c2≥2ac,当且仅当a=c时等号成立, ∴ac≥2ac-4,解得ac≤4, √3∴S△ABC=2acsinB≤2×4×2=√3(当且仅当a=c时等号成立).故△ABC面积的最大值为√3. 5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且atan A=√3(ccos B+bcos C). (1)求角A; (2)若点D满足????????????? =2????????????? ,且BD=3,求2b+c的取值范围. 解 (1)∵atanA=√3(ccosB+bcosC), 11 ∴sinA·tanA=√3(sinC·cosB+sinB·cosC), ∴sinA·tanA=√3sin(B+C)=√3sinA. ∵0 (2)在△ABD中,根据余弦定理得AD+AB-BD=2AD·ABcosA, 即(2b)+c-9=2bc,∴(2b+c)-9=6bc, 2 2 2 2 2 2 又2bc≤ 2??+??2 2 ,∴(2??+??)-9 3 2 =2bc≤ 2??+??2 2 . ∴(2b+c)2≤36,∴2b+c≤6. 又2b+c>3,∴3<2b+c≤6. 6.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若(a-c)(sin A+sin C)=b(sin A-sin B). 14 (1)求角C; (2)若△ABC的外接圆半径为2,求△ABC周长的最大值. 解 (1)由正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b), ∴a-c=ab-b222 ??2+??2-??2,∴2????=,即cosC=. 2 2 11 ∵0 (2)设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理2R=sin??=sin??=sin??=4, ??????π ∴a=4sinA,b=4sinB,c=4sinC=2√3, ∴周长l=a+b+c=4sinA+4sinB+2√3 2π3 =4sinA+4sin -A+2√3 =4sinA+4×2cosA+4×2sinA+2√3 =6sinA+2√3cosA+2√3 π √31 =4√3sinA+6+2√3, 2π3 π π5π6 ∵A∈0, π ,∴A+6∈ π , 6 . ∴当A+6=2即A=3时,lmax=4√3+2√3=6√3. ∴当A=B=3时,△ABC周长的最大值为6√3. π π 命题角度3应用正弦定理和余弦定理解决实 际问题 高考真题体验·对方向 15