(2009全国·17)为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量.A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.
解 方案一:①需要测量的数据有:A点到M,N点的俯角α1,β1;B点到M,N点的俯角α2,β2;A,B的距离d(如图所示).
2
②第一步:计算AM,由正弦定理得AM=sin(??+??;
)
1
2
??sin??第二步:计算AN,由正弦定理得AN=??sin??2
; sin(??2-??1)
第三步:计算MN,由余弦定理得
MN=√????2+????2-2????·????cos(??1-??1).
方案二:①需要测量的数据有:
A点到M,N点的俯角α1,β1;B点到M,N点的俯角α2,β2;A,B间的距离d(如图所示).
??sin??1
1
②第一步:计算BM,由正弦定理得BM=sin(??+??;
)
2
16
第二步:计算BN,由正弦定理得BN=sin(??第三步:计算MN,由余弦定理得
??sin??1
; 2-??1)
MN=√????2+????2+2????·????cos(??2+??2).
典题演练提能·刷高分
1.如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1 km.
(1)试探究图中B,D间的距离与另外哪两点间距离会相等? (2)求B,D间的距离.
解 (1)在△ABC中,∠DAC=30°,
∠ADC=60°-∠DAC=30°,∴CD=AC=0.1. 又∠BCD=180°-60°-60°=60°,
∴CB是△CAD底边AD的中垂线,∴BD=BA.
????????????sin60°sin15°
(2)在△ABC中,由正弦定理,得sin∠??????=sin∠??????,即AB==
3√2+√620
, ∴BD=3√2+√620
(km).
17
答:B,D间的距离是
3√2+√620
km.
2.
如图,岛A,C相距10√7海里.上午9点整有一客轮在岛C的北偏西40°且距岛C10海里的D处,沿直线方向匀速开往岛A,在岛A停留10分钟后前往B市.上午9:30测得客轮位于岛C的北偏西70°且距岛C10√3海里的E处,此时小张从岛C乘坐速度为v海里/时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市.
(1)若v∈(0,30],问小张能否乘上这班客轮?
(2)现测得cos∠BAC=-5,sin∠ACB=√.已知速度为v海里/时(v∈(0,30])的小艇每小时的总费用为
5
1
2v+v+50元,若小张由岛C直接乘小艇去B市,则至少需要多少费用? 2
4
5
解 (1)如题图,根据题意得:CD=10,CE=10√3,AC=10√7,∠DCE=70°-40°=30°.
在△CDE中,由余弦定理得,
DE=√????2+????2-2????·????·cos∠??????=√102+(10√3)-2×10×10√3×2=10,
所以客轮的航行速度v1=10×2=20(海里/时). 因为CD=DE,所以∠DEC=∠DCE=30°, 所以∠AEC=180°-30°=150°.
在△ACE中,由余弦定理得,AC=AE+CE-2AE·CE·cos∠AEC,
2
2
2
2√3 18
整理得AE+30AE-400=0,解得AE=10或AE=-40(不合题意,舍去负值).
2
所以客轮从E处到岛A所用的时间t1==(小时),小张到岛A所用的时间至少为t2=20
2
√7(小时). 3
101
10√730
=
由于t2>t1+,所以若小张9点半出发,则无法乘上这班客轮.
6
1
(2)在△ABC中,cos∠BAC=-,sin∠ACB=, 5
4
√55
所以∠ACB为锐角,sin∠BAC=,cos∠ACB=5
32√55
.
所以sinB=sin[180°-(∠BAC+∠ACB)]=sin(∠BAC+∠ACB)
=sin∠BACcos∠ACB+cos∠BACsin∠ACB=5×
由正弦定理得sin∠??????=sin??, 所以BC=10√7×
52√525
3
32√55
?×
5
4
√55
=
2√525
.
????????=15√35,
所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为f(v)=1
15√351
??(2v+v+50)=15√35
2
50
1v+1+2
??≥15√352√1??·50+1=165√35(v∈(0,30]),当且仅当2v=??,即v=10时,f(v)min=165√35(元).所以
2??若小张由岛C直接乘小艇去B市,其费用至少需165√35元.
50
19