第十一章 相似形与面积问题 第一节 相似三角形 【知识点拨】
1、相似三角形的判定：
（1）两角对应相等，两个三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似； （3）三边对应成比例，两个三角形相似；
（4）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形相似。
2、相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比；
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。 3、涉及的问题及解题思路：
证线段成比例、线段相等、线段的和差倍分、角相等；证平行、计算线段长；求三角形的面积。
解题时，要注意抓住题设、结论的特点，设法将问题设法与证两个三角形相似联系。
【赛题精选】
例1、已知正方形ABCD的边长是5厘米，EF＝FG，FD＝DG。 求△ECG的面积。（2003年河北省竞赛题）
【说明】在相似形中，计算线段长的主要方法是由线段成比例定理（如平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质等）列出含待求线段的比例式，再设法求出待求线段的长。
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例2、已知在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN交于AC于P、Q两点。求AP：PQ：QC的值。（2001年河北省竞赛题）
【说明】解线段a：b：c的问题，可根据相关的性质将a、b、c用同一条线段表示出来，再求几条线段的比。若a、b、c正好可组成一条线段，常用这条线段表示这三条线段。
例3、正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，F是边AB上一点，且AE＝2EC，FB＝2AF。
求∠EDF的度数（2002年河南省竞赛题）
例4、如图，四边形ABCD中，AC与BD交于点O，直线l∥BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。 求证：PM·PN＝PR·PS。（1999年山东竞赛题）
【说明】证明线段成比例的方法有：证两个三角形相似、等线代换法、等比代换法。对于等积式的证明，常将其改证比例式，若比例式不能用上述三种方法证明时，可证等积式两边都等于第三个某两条线段的乘积。
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例5、正方形ABCD中，M、N分别在AB、BC边上，且BM＝BN，又BP⊥MC于P。 求证：PD⊥PN。（1990年四川省竞赛题）
【说明】要证相等的两角是两个三角形的角，若能证这两个三角形相似，且两角是对应角，则达到两角相等。此种方法是证角相等的常用方法。 例6、在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：4。 求证： 【说明】要证明形如
（1） 111+=。 ABACBC111+=几何题的常用方法有： abca+b1a+bb=、=，故构造以a＋b、b为边且比例法：将原等式变形为abcac 与a、c所在三角形相似的三角形；
通分法：先将原等式变形为（2） cc+=1。利用相关定理将两个比通分，即证出ab
cm1cm=、=2，且m1+m2=d，则原式成立。