必修4、5数学

第一章 1.1 平面向量的实际背景及基本概念

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例1、下列命题正确的是________.

①向量AB与CD是共线向量,则A、B、C、D四点必在一条直线上;②单位向量都相等; ③任一向量与它的相反向量不相等;④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB?DC; ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0;⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. 变式1、给出下列几种说法:

①若非零向量a与b共线,则a=b;②若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;③若两向量可移到同一直线上,则两向量相等;④若a∥b,b∥c,则a∥c.其中错误的序号是____________.

题型二、依据图形写相等或共线向量

例2、如图所示,点O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED、OCFB都是正方形. 在图中所示的向量中:(1)分别写出与AO、BO相等的向量;(2)写出与AO共线的向量; (3)写出与AO的模相等的向量;(4)向量AO与CO是否相等?

变式2、以边长为2的正方形的中心O为起点,分别以各顶点、各边的中点为终点作出向量a、b、c、d、e、f、g、h.(1)试在各边与已知正方形相应各边平行且边长为1的正方形ABCD中找出与它们相等的向量;(2)试找出分别与AB、BC、AC、BD共线的向量.

题型三、向量的几何表示与向量的应用

例3、一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向向西偏北50°走

BC、了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.(1)作出向量AB、CD;(2)求AD.

变式3、飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1400km到达B地,再从B地按东偏南15°的方向飞行1400km到达C地,那么C地在A地什么方向?C地距A地多远?

例4、给出下列四个命题:①若|a|=0,则a=0;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a∥b,b∥c,则a∥c.其中,正确的命题有( )

A.0个 B.1个 C.2个

D.3个

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变式4、下列说法中错误的是( ) A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0

C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的

变式4-1“若向量AB与CD是共线向量,则四点A、B、C、D必在同一直线上”这种说法是否正确?为什么?

课堂练习

1.下列说法正确的是( ) A.若|a|>|b|,则a>b B.若|a|=|b|,则a=b C.若a=b,则a∥b

D.若a≠b,则a与b不是共线向量 2.(2015·山东潍坊模块达标)若a为任一非零向量,b为单位向量,则下列各式:①|a|>|b|;a②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1;⑤=b.其中正确的是( )

|a|

A.①④⑤ B.③ C.①②③⑤

D.②③⑤

3.如图,在正方形ABCD中,AC与BD交于点O,则图中与OA相等的向量是( )

A.OC B.OD C.OB

D.CO

4.在四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,则四边形ABCD是( )

A.梯形 B.平行四边形 C.矩形

D.正方形

5.已知a∥b,b∥c,则有( ) A.a∥c B.a=c C.a与c不共线 D.以上都有可能 课后作业

基础巩固 一、选择题

1.下列命题中正确的是( )

A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合 B.模相等的两个平行向量是相等向量 C.若a和b都是单位向量,则a=b D.两个相等向量的模相等 2.下列说法中,不正确的是( )

→→

A.向量AB的长度与向量BA的长度相等 B.任何一个非零向量都可以平行移动

C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量

3

D.两个有共同起点且共线的向量其终点必相同

3.已知非零向量a、b满足a∥b,则下列说法错误的是( )

A.a=b B.它们方向相同或相反 C.所在直线平行或重合 D.都与零向量共线 →

4.数轴上点A、B分别对应-1、2,则向量AB的长度是( )

A.-1 B.2 C.1

D.3

5.(2015·临沂高一检测)以下说法错误的是( )

A.零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 6.下列说法正确的是( )

A.若|a|=|b|,则a、b的长度相等且方向相同或相反 →→→→→→→→

B.若向量AB、CD满足|AB|>|CD|,且AB与CD同向,则AB>CD C.若a≠b,则a与b可能是共线向量

→→

D.若非零向量AB与CD平行,则A、B、C、D四点共线 二、填空题

7.零向量与单位向量的关系是________(填“共线”、“相等”、“无关”). →→

8.等腰梯形ABCD两腰上的向量AB与DC的关系是______________. 三、解答题

9.如右图,以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中,

→→

(1)写出与AF、AE相等的向量; →

(2)写出与AD模相等的向量.

10.如图所示,4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:

(1)与AB相等的向量共有几个;

(2)与AB平行且模为2的向量共有几个? →

(3)与AB方向相同且模为32的向量共有几个?

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能力提升

一、选择题

→→→→

1.若|AB|=|AD|且BA=CD,则四边形ABCD的形状为( )

A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 2.下列说法中错误的是( )

A.有向线段可以表示向量但不是向量,且向量也不是有向线段 B.若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 C.长度相等但方向相反的两个向量不一定共线 D.方向相反的两个非零向量必不相等

→→→

3.设O为△ABC外接圆的圆心,则AO,BO,CO是( )

A.相等向量 B.平行向量 C.模相等的向量 D.起点相同的向量

4.已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C={与a长度相等,方向相反的向量},其中a为非零向量,则下列命题中错误的是( )

A.C?A B.A∩B={a} C.C?B 二、填空题

→→→→→→

5.如图ABCD是菱形,则在向量AB、BC、CD、DA、DC和AD中,相等的有________对. 6.(2015·海南三亚调研)把同一平面内所有模不小于1,不大于2的向量的起点,移到同一点O,则这些向量的终点构成的图形的面积等于____________. 三、解答题

7.在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1),已知向量a.

(1)试以B为起点画一个向量b,使b=a;

(2)画一个以C为起点的向量c,使|c|=2,并说出c的终点的轨迹是什么.

8.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地,再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地,再从丙地按西南方向飞行10002km到达丁地,问丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多远?

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D.等腰梯形

D.A∩B?{a}

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