全国通用版高考数学二轮复习专题二数列第1讲等差数列与等比数列学案文

第1讲 等差数列与等比数列

[考情考向分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点,经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点,考查分析问题、解决问题的综合能力.

热点一 等差数列、等比数列的运算 1.通项公式

等差数列:an=a1+(n-1)d; 等比数列:an=a1·q2.求和公式 等差数列:Sn=

n-1

.

n?a1+an?

2

=na1+

n?n-1?

d;

2

a1?1-qn?a1-anq等比数列:Sn==(q≠1).

1-q1-q3.性质 若m+n=p+q,

在等差数列中am+an=ap+aq; 在等比数列中am·an=ap·aq.

例1 (1)(2018·北京)设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为______. 答案 an=6n-3(n∈N)

解析 方法一 设公差为d.∵a2+a5=36,∴(a1+d)+(a1+4d)=36,∴2a1+5d=36.∵a1=3,∴d=6,∴通项公式an=a1+(n-1)d=6n-3(n∈N). 方法二 设公差为d,∵a2+a5=a1+a6=36,a1=3, ∴a6=33,∴d=

*

*

a6-a1

5

=6.∵a1=3,∴通项公式an=6n-3(n∈N).

2

*

(2)(2018·华大新高考联盟质检)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3a11=2a5,且S4+S12=λS8,则λ=________. 8

答案 3

1

解析 ∵a3a11=2a5,∴a7=2a5,∴q=2, ∵S4+S12=λS8,

2224

a1?1-q4?a1?1-q12?λa1?1-q8?∴+=,

1-q1-q1-q1-q+1-q=λ(1-q), 84

将q=2代入计算可得λ=. 3

思维升华 在进行等差(比)数列项与和的运算时,若条件和结论间的联系不明显,则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解,但要注意消元法及整体计算,以减少计算量.

跟踪演练1 (1)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1等于( ) 12

A.-2 B.-1 C. D.

23答案 B

解析 S4-S2=a3+a4=3a4-3a2,

即3a2+a3-2a4=0,即3a2+a2q-2a2q=0, 32

即2q-q-3=0,解得q=-1(舍)或q=,

23

当q=时,代入S2=3a2+2,

2得a1+a1q=3a1q+2,解得a1=-1.

(2)(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. ①求{an}的通项公式;

②记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m. 解 ①设{an}的公比为q,由题设得an=q4

2

2

4

12

8

n-1

.

由已知得q=4q,解得q=0(舍去),q=-2或q=2. 故an=(-2)

n-1

或an=2

n-1

(n∈N).

n*

②若an=(-2)

n-1

1-?-2?

,则Sn=. 3

m由Sm=63得(-2)=-188,此方程没有正整数解. 若an=2

n-1

,则Sn=2-1.

mn由Sm=63得2=64,解得m=6. 综上,m=6.

热点二 等差数列、等比数列的判定与证明

2

证明数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法 (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法: ①利用定义,证明an+1-an(n∈N)为一常数;

②利用等差中项,即证明2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N). (2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法: ①利用定义,证明

*

*

an+1*

(n∈N)为一常数; an2

*

②利用等比中项,即证明an=an-1an+1(n≥2,n∈N).

11

例2 已知数列{an},{bn},其中a1=3,b1=-1,且满足an=(3an-1-bn-1),bn=-(an-1

22-3bn-1),n∈N,n≥2.

(1)求证:数列{an-bn}为等比数列;

?2?

?的前n项和Tn. (2)求数列?

?anan+1?

n*

1?1?(1)证明 an-bn=(3an-1-bn-1)-?-?(an-1-3bn-1)=2(an-1-bn-1), 2?2?又a1-b1=3-(-1)=4,

所以{an-bn}是首项为4,公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知,an-bn=2

n+1

,①

1?1?又an+bn=(3an-1-bn-1)+?-?(an-1-3bn-1)=an-1+bn-1,

2?2?又a1+b1=3+(-1)=2,

所以{an+bn}为常数数列,an+bn=2,② 联立①②得,an=2+1,

211=n=-, anan+1?2+1??2n+1+1?2n+12n+1+1所以Tn=?=

1

n2

nn?11-21?+?21-31?+…+?n1-n+1?

1??????2+12+1??2+12+1??2+12+1?

1111*

-n+1=-n+1(n∈N). 2+12+132+1

思维升华 (1)判断一个数列是等差(比)数列,也可以利用通项公式及前n项和公式,但不能作为证明方法.

(2)an=an-1an+1(n≥2)是数列{an}为等比数列的必要不充分条件,判断时还要看各项是否为零.

跟踪演练2 (2018·新余模拟)已知{an}是各项都为正数的数列,其前n项和为Sn,且Sn为

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