2013-2014（2）《概率论》练习题
一.填空题:
1． 已知P(A)?0.4，P(B)?0.6，P(AB)?0.9，则
P(AB)? 3/4 。则P(B|A)?1/4,P(A?B)?0.9
2. A,B是两随机事件，P(B)?1/3,P(AB)=1/5,P(AB)=1/5,
则P(AB)?4/15,P(A)?2/5
6C3656!3.设一年以365天计，6个研究生同住一个宿舍，则6人生日全不同的概率p=
3656（只列式，不计算）。
4.设随机变量X和Y相互独立，且有相同的分布：
X(Y) 12
p 0.40.6 2则Z?X?Y的分布律为
Z P 2 3 5 6 0.16 0.24 0.24 0.36 E(X2?Y)?4.4
5．投掷均匀的五枚硬币，则至少出现一个正面的概率为 31/32 ， 刚好出现3个正面的概率为 15/16 ． 6．设X~U[1,3]（均匀分布），则E(X)? 2 ，E(X?3)? 5 ，
D(X)? 1/3 ．
a?(x27. 设随机变量X~N(?,?), 其概率密度为 f(x)?e2?则
2?1x0?b18)
b?25,???5,??3,a?1/3E(X)?342
6C3656!8． 6 个研究生同住一个宿舍，则 6人至少2人同一天生日的概率为 1?
36561
（一年以365 天计） 9．在1,2,,100这一百个正整数中任取一个，则它既不能被4整除也不能被6
整除的概率为 0.67 ．
10. 从 (0,1) 中随机取 2 个数，则其中一个数大于2/3，另一个数小于1/3 的
概率为 2/9 11．设X~B(100,0.1)Y~P(3) Z~N(3,22),，且X，Y,Z相互独立,
则E(2X?3Y?Z?3)?5D(2X?3Y?Z?8)?67
12．已知X~E(3),用雪比晓夫不等式估计P{X?E(X)?2}?1/36 . P{X?E(X)?3}?26/27
13．随机变量X 的概率密度为 f(x)?Ae,
?x?1x?2e,x?0 则A?1/2， .其分布函数F(X)??.
1?x?1?e,x?0?214．设连续型随机变量X的分布函数为F(x)?2?arctanex,???x???，
1exP{0?X?ln3} =1/6 ． 则分布密度f(x)?，2x2?1?e2二、单项选择题
1.某射手在相同条件下作独立射击，其命中率为0.8，则直到第三发子弹才命中
的概率是 【 D 】
1(A)C3(0.8)(0.2)2......(B)1?0.8?0.8(C)0.8......................( D)(0.2)?0.82
2． A,B为两个随机事件 ，且 B?A 则下列结论正确的是 【C 】 （A）若A发生，则B必发生 （B）A与B必同时发生
（C）若A不发生，则B必不发生 （D）若B不发生，则A必不发生
3．A、B 为两随机事件，0?P(A)?1 ，则下面结论中错误的是【 B 】
（A）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) （B）P(B)?P(B/A)?P(B/A) （C）P(A?A)?P(A) （D）
4．已知10件产品中有件3件次品，现从中随意依次取出两件产品，取后不放回。 已知取出两件产品中第一件是次品，那么第二件也是次品的概率是 【D 】
A、
P(A?B)?P(A)?P(AB)
3 10 B、
63 C、
990 D、
2 95．设f(x)??（A）[0,?sinx,x?[a,b]是某连续型随机变量的分布密度，则[a,b]是【A 】
?0,x?[a,b]?2] （B）[0,?] （C）[??3,0] （D）[0,?] 226．下列函数中是某随机变量的分布函数的是 【D 】 （A）F1(x)?1,???x??? （B）F2(x)?e?x,???x??? 21?xx?0?0,31?arctanx,???x???（D）F4(x)??x（C）F3(x)??
42?,x?0??1?x7．设随机变量X,Y相互独立，且，X~N(5,22) Y~N(6,32) 则
Z?X?Y 服从正态分布，且有 【 B 】
（A）Z~N(11,36) （B）Z~N(11,13) （C）Z~N(30,13) （D）Z~N(11,5)
8． 设随机变量X,Y相互独立，且， X~P(6),Y~P(5) （ 泊松分布）， 则Z?X?Y 也服从泊松分布，且有 【 B 】 （A）Z~P(30) （B）Z~P(11)
（C）Z~P(61) （D）Z~B(30)
3
9．用雪比晓夫不等式估计概率p?P{X?E(X)?3D(x)}，则p【 B 】 （A）?1188 （B）? （C）? （D）? 9999??e??x,x?010．设随机变量X~E(?)（指数分布）, 其概率密度 f(x)??
?0,x?0(??0),用雪比晓夫不等式估计P{X?E(X)??}? 【 D 】
（A）1/4 （B）1/? （C）1/? （D）1/?
三.解答题
1. 社会调查把居民按收入多少分为高、中、低三类，调查结果是高、中、低三类分别 占总数的1000 、6000、3000，而银行存款在5万元以上的户数在这三类户数中的 比例依次为10000、6000、1000。
（1） 求存款在5万元以上的户在全体居民中所占比例；
（2） 已知存款户张国强存款超过5万元，求他属于低收入阶层的概率。 解：设A1,A2,A3分别表示高中低收入阶层，B表示银行存款5万以上的居民。 （1）由全概率公式
24P(B)?P(A1B?A2B?A3B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3) ?163?100%??60%??10%?0.49101010
（2）由贝叶斯公式
P(A1|B)?P(A1B)0.03 ?P(B)0.49X\\Y 2．设(X,Y)的分布列为12345（1）求a；（2）关于X,Y的 a1/103/10，
2/103/101/10边缘概率分布，判别X与Y是否独立？ （3）P{Y?X?2}． 解：（1）由概率的规范性，分布的性质可得
1???pij?a?i?1j?12313231?????a?1 1010101010因此a?0
（2）由（X，Y）的联合分布列分别得X，Y的边缘分布列
pi???pij(i?1,2),p?j??pij(j?1,2,3)
j?1i?132即
Y 3 4 5 X 1 2 22P?j 552120?p11?p1?p?1???
5525所以X和Y不独立。
（3）由（X，Y）的联合分布列 （X， Y） （1,3） （1,4） （1,5） P Y-X Y-X P 1 2 3 4 2 0 3 1 5pi? 2 53 5（2,3） （2,4） （2,5） 1 104 3 101 2 102 3 103 1 1032 1010231P{Y?X?2}???
10102
2 103 103.设X,Y是相互独立的随机变量，且X~U(0,2),Y~E(2)。
求：（1）X,Y的联合概率密度；（2）P(X?Y)。
解：（1）设fX(x)、fY(y)分别表示X、Y的概率密度。X~U(0,2),Y~E(2)
5