第12讲 与相交有关概念及平行线的判定
考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析
【例1】如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成哪几对对E A D 顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反
C 向延长线. B
F ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.
有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】
C E 01．如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，则：
⑴∠ARC的对顶角是 . 邻补角是 .
P ⑵中有几对对顶角，几对邻补角？
02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； R Q A B
当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；
D 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. F 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分∠BOC、 ∠AOC．
⑴求∠EOF的度数；
C F ⑵写出∠BOE的余角及补角. E 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC ∴∠EOCBOC，∠FOC＝∠AOC ∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC
1212A O B ＝＝
12∠
1∠BOC2＋∠AOC＝??BOC??AOC? 又∵∠BOC＋∠AOC＝180° ∴∠EOF＝×180°＝90° ⑵∠BOE的余角是：∠COF、∠AOF；∠BOE的补角是：∠AOE.
【变式题组】 01．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是（ ） A．20° B． 40° C．50° D．80° E 4 1 D
3 2 A O A
C 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，（第1题图） （第2题图）
则∠4＝ .
【例３】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B分别是l1、l2
A 上的点，试用三角尺完成下列作图：
1212O B l1 l2
1
⑴经过点A画直线l2的垂线.
⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.
【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】
01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线
l的距离为（ ）
A．4cm B． 5cm C．不大于4cm D．不小于6cm
02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N为位于公路两侧的村庄；
⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.
⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在 的路上距离M村越来越近..在 的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.
【例４】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数.
E D 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作
为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF＝90°，OF⊥AB．
A
O B
F C 【变式题组】
01．如图，若EO⊥AB于O，直线CD过点O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠AOE的度数.
E A
02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平D 分∠AOD． C O ⑴求∠AOC的度数；
D ⑵试说明OD与AB的位置关系. C B
A O B
03．如图，已知AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE︰∠
ABD＝1︰2，请作出∠CBE的对顶角，并求其度数. A
B D
A
E
【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：
∠1和∠2： F C
1
4 A
D 2 5 E 3 6 B
2
∠1和∠3：
∠1和∠6：
∠2和∠6：
∠2和∠4： ∠3和∠5：
∠3和∠4：
【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.
【变式题组】
E Ｇ
01．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁内角
共有（ ）
A B
A．4对 B． 8对 C．12对 D．16对
C D
02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角. F H
1 03．如图，按各组角的位5
3 4 7 8 2 置判断错误的是4 6 3 2 1 6 5 3 （ ） 2
1 4 A．∠1和∠2是
丙 同旁甲 乙
A 内角
1 B．∠3和∠4是内错角
3 C．∠5和∠6是同旁内角 2 5 D．∠5和∠7是同旁内角 4 【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由?
6 7 C
⑴∠CBD＝∠ADB； B A D ⑵∠BCD＋∠ADC＝180° ⑶∠ACD＝∠BAC 【解法指导】图中有即即有同旁内 O B C 角，有“ ”即有内错角.
【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得AD∥BC；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°，可推得AD∥BC；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据内错角相等，两直线平行. 【变式题组】
A 01．如图，推理填空.
⑴∵∠A＝∠ （已知）
∴AC∥ED（ ） F E ⑵∵∠C＝∠ （已知）
B 3
D