D．13 cm，12 cm，20 cm
6．[20__·滨州]如图K18－2，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )
图K18－2
A．40° B．36° C．80° D．25°
7．[20__·庆阳]已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( )
A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．0
8．[20__·天津]如图K18－3，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是( )
图K18－3
A．BC B．CE C．AD D．AC 二、填空题
9．[20__·常德]命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为：________________________．
10．[20__·徐州]若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm，则它的底边长为________cm.
11．[20__·张家界]如图K18－4，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，且AB＝6 cm，AC＝8 cm，则四边形ADEF的周长等于________cm.
图K18－4
图K18－5 12．[20__·益阳]如图K18－5，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE＝a，AE＝b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为________．
13．[20__·龙岩]如图K18－6，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝________． 图K18－6
图K18－7 14．[20__·南京二模]如图K18－7，一束平行太阳光照射到等边三角形上，若∠α＝28°，则∠β＝________°.
三、解答题
15．[20__·内江]如图K18－8，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC. 求证：△BDE是等腰三角形．
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图K18－8
16．如图K18－9，AE平分∠BAC，△AEC沿EC折叠，点A恰好落在BC边上的点D处，且BD＝DE.若∠ACB＝60°，求∠B的度数．
图K18－9
17．如图K18－10，等边三角形ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF.
(1)求证：DE＝CF； (2)求EF的长．
图K18－10 |拓 展 提 升|
18．[20__·宁夏]如图K18－11，在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作PM⊥AB，PN⊥AC，M、N分别为垂足．
(1)求证：不论点P在BC边的何处时都有PM＋PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高； (2)当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大？并求出最大值．
图K18－11 参考答案
1．D
2．C [解析] ∵∠ACD＝120°，∠B＝20°，∴∠A＝∠ACD－∠B＝120°－20°＝100°. 3．C [解析] 根据三角形内角和定理得∠C＝180°－95°－40°＝45°.
4．C [解析] 根据“两边之差<第三边<两边之和”，所以第三边长大于2且小于6，因此周长大于8且小于12，所以三角形的周长可能是11.
5．D [解析] ∵13＋12＞20，∴长度为13 cm，12 cm，20 cm的木棒可以构成三角形． 6．B [解析] 设∠C＝_°，由DA＝DC，可得∠DAC＝∠C＝_°，由AB＝AC可得∠B＝∠C＝_°.∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2_°，由于BD＝BA，∴∠BAD＝∠ADB＝2_°，根据三角形内角和定理，得_°＋_°＋3_°＝180°，解得_＝36.所以∠B＝36°.
7．D [解析] 根据三角形三边满足的条件：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，即可确定a＋b－c＞0，c－a－b＜0，所以原式＝a＋b－c＋c－a－b＝0，故选D.
8．B [解析] 由AB＝AC，可得△ABC是等腰三角形，根据“等腰三角形的三线合一”可知点B与点C关于直线AD对称，连接CP，则BP＝CP，因此BP＋EP的最小值为CE，故选B.
9．如果m是有理数，那么它是整数
10．2 [解析] 过顶角的顶点A作AD⊥BC于D点． ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
又∠BAC＝120°，∴∠B＝30°. ∵AD⊥BC，∴BC＝2BD. ∵AB＝2，
∴在Rt△ABD中，BD＝ABcosB＝2_＝， ∴BC＝2 .
11．14 [解析] 因为点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，所以DE，EF为△ABC的中位线，DE＝AF＝4，AD＝EF＝3.故四边形ADEF的周长为2(AD＋EF)＝14.
12．2a＋3b
13．2 [解析] 在等边三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，∴在Rt△BDC中，BC＝2DC.由外角性质有∠ACB＝∠E＋∠CDE＝60°，∴∠CDE＝30°，∴CD＝CE＝1，∴BC＝2CD＝2.
14．32 [解析] 依题意有∠α＋∠β＝60°，又∠α＝28°，∴∠β＝32°. 15．证明：∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠EDA， ∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，
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∴∠BAD＝∠EDA. ∵AD⊥BD，
∴∠BAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°. ∴∠B＝∠BDE.
∴△BDE是等腰三角形．
16．解：如图，由折叠的性质知∠3＝∠4，即CE是∠ACB的平分线． 又∵AE平分∠BAC，
∴根据三角形三条角平分线交于一点， 连接BE，则BE平分∠ABC.
设∠5＝∠6＝_°，则∠ABC＝2_°. ∵BD＝DE，
∴∠5＝∠7＝_°.
由三角形外角性质得∠EDC＝∠5＋∠7＝2_°， ∴∠2＝∠EDC＝2_°， ∴∠BAC＝4_°，
根据三角形内角和定理建立方程2_°＋4_°＋60°＝180°，解得_＝20， ∴∠ABC＝2_°＝40°.
17．解：(1)证明：∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE∥BC且DE＝BC. ∵CF＝BC， ∴DE＝CF.
(2)由(1)知DE∥FC，DE＝CF， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DC＝EF.
∵D为AB的中点，等边三角形ABC的边长是2， ∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2， ∴DC＝， ∴EF＝.
18．解：(1)证明：连接AP，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，设BC边上的高为h，∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴S△ABC＝S△ABP＋S△ACP＝AB·MP＋AC·PN＝BC(PM＋PN)，
又∵S△ABC＝BC·h，∴PM＋PN＝h，即不论点P在BC边的何处时都有PM＋PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高．
(2)设BP＝_，在Rt△BMP中，∠BMP＝90°， ∠B＝60°，
∴BM＝BP·cos60°＝_，MP＝BP·sin60°＝_， ∴S△BMP＝BM·MP＝·_·_＝_2.
∵BC＝2，∴PC＝2－_，同理可得：S△PNC＝(2－_)2. 又∵S△ABC＝_22＝，
∴S四边形AMPN＝S△ABC－S△BMP－S△PNC＝－_2－(2－_)2＝－(_－1)2＋， ∴当BP＝1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是.
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