专题检测（十六） 概率与统计
A卷——夯基保分专练
一、选择题
1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝－2an(n∈N)．若从数列{an}的前10项中随机抽取一项，则该项不小于8的概率是( )
A.
3
10
2B. 5D.7 10
，故前10项中，不小于8的只有8,32,128,512，
*
3
C. 5
解析：选B 由题意可知an＝2·(－2)42共4项，故所求概率是＝.
105
n－1
2．(2017·湖南五市十校联考)在矩形ABCD中，AB＝2AD，在CD上任取一点P，△ABP的最大边是AB的概率是( )
A.2 2
B.3 2C.2－1 D.3－1 解析：选D 分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于
P1，P2，则当P在线段P1P2间运动时，能使得△ABP的最大边是AB，易
得P1P2＝3－1，即△ABP的最大边是AB的概率是3－1. CD3．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从
这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
4A. 52C. 53B. 51D. 5
解析：选C 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，42共4种，故所求概率P＝＝.
105
4．(2017·惠州三调)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌获胜的概率为( )
1A. 31C. 5
1B. 41D. 6
解析：选A 设田忌的上、中、下三个等次的马分别为A，B，C，齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c，从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的所有可能结果有
Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，共9种，田忌获胜有Ab，Ac，Bc，共3种，田忌
1
获胜的概率为.
3
5．已知集合A＝{－2,3,5,7}，从A中随机抽取两个不同的元素a，b，作为复数z＝a＋bi(i为虚数单位)的实部和虚部．则复数z在复平面内的对应点位于第一象限的概率为( )
1A. 23C. 4
2B. 34D. 5
解析：选A 从集合A＝{－2,3,5,7}中随机抽取两个不同的元素a，b，组成复平面内的对应点有(－2,3)，(－2,5)，(－2,7)，(3，－2)，(3,5)，(3,7)，(5，－2)，(5,3)，(5,7)，(7，－2)，(7,3)，(7,5)，共12种； 其中位于第一象限的点有(3,5)，(3,7)，(5,3)，(5,7)，(7,3)，(7,5)，共6种． 61
所以复数z在复平面内的对应点位于第一象限的概率为P＝＝. 122
x＋y－4≤0，??
6．(2017·云南第一次统一检测)在平面区域?x>0，
??y>0
2
内随机取一点(a，b)，
则函数f(x)＝ax－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为( )
11A. B. 4312C. D. 23
解析：选B 不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB的内部及12
边界AB(不包括边界OA，OB)，则S△AOB＝×4×4＝8.函数f(x)＝ax－
24b4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数，则应满足a>0且x＝≤1，即2a??a>0，?
?a≥2b，?
可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界OC，BC，不包括边界OB)，由
2
??a＝2b，?
?a＋b－4＝0，?
84148
解得a＝，b＝，所以S△C OB＝×4×＝，根据几何概型的概率计算公
33233
831
式，可知所求的概率P＝＝.
83
二、填空题
7．(2017·贵阳检测)同时掷两颗骰子，则向上的点数之和是7的概率是________． 解析：依题意，记抛掷两颗骰子向上的点数分别为a，b，则可得到数组(a，b)共有6×6＝36组，其中满足a＋b＝7的组数共有6组，分别为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，因此所求的概率等于
1答案： 6
8．在长度为10的线段AB上任取一点C(异于A，B)，则以AC，BC为半径的两圆面积之和小于58π的概率是________．
解析：设AC＝x，则BC＝10－x,0＜x＜10.由题意知，πx＋π(10－x)＜58π，即x7－32
－10x＋21＜0，解得3＜x＜7.故所求的概率为＝.
105
2答案： 5
9．(2017·福州质检)从集合M＝{(x，y)|(|x|－1)＋(|y|－1)<4，x，y∈Z}中随机取6
一个点P(x，y)，若xy≥k(k>0)的概率为，则k的最大值是________．
25
解析：因为M＝{(x，y)|(|x|－1)＋(|y|－1)<4，x，y∈Z}，所以M＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，所以集合M中元素的个数为5×5＝25.因为xy＝1的情况有2种，xy＝6
2的情况有4种，xy＝4的情况有2种，所以要使xy≥k(k>0)的概率为，需1 25 2 2 2 2 2 2 2 61＝. 366 k的最大值为2. 答案：2 三、解答题 10．《聪明花开——莆仙话挑战赛》栏目共有五个项目，分别为“和一斗”“斗麻利”“文儒生”“放独步”“正功夫”．《聪明花开》栏目组为了解观众对项目的看法，设计了“你最喜欢的项目是哪一个”的调查问卷(每人只能选一个项目)，对现场观众进行随机抽样调查，得到如下数据(单位：人)： 和一斗 115 斗麻利 230 文儒生 115 放独步 345 正功夫 460 3