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中含第i种营养成分的量为aij，第j种原料的单价为cj，问应如何配制饲料才能使成本最低？
4.2拟分配甲、
乙、丙、丁四人去干 工作 四项工作，每人干且
工人 1 2 3 4 仅干一项。他们干各
甲 10 9 7 8 项工作需用天数见右
乙 5 8 7 7 表，问应如何分配才
丙 5 4 6 5 能使总用工天数最少。
丁 2 3 4 5
4.3 某校经预赛选出A，B，C，D四名学生，将派他们去参加该地区各学校之间的竞赛。此次竞赛的四门功课考试在同一时间进行，因而每人只能参加一门，比赛结果将以团体总分计名次（不计个人名次）。设下表是四名学生选拔时的成绩，问应如何组队较好？
课程
学生 数学 物理 化学 外语
A 90 95 78 83
B 85 89 73 80
C 93 91 88 79 D 79 85 84 87
4.4 某工厂生产两种标准件，A种每个可获利0.3元，B种每个可获利0.15元。若该厂仅生产一种标准件，每天可A种标准件800个或B种标准件1200个，但A种标准件还需某种特殊处理，每天最多处理600个，A，B标准件最多每天包装1000个。问该厂应该如何安排生产计划，才能使每天获利最大。
4.5 将长度为500cm的线材截成长度为78cm的坯料至少
1000根，98cm的坯料至少2000根，若原料充分多，在完成任务的前提下，应如何截切，使得留下的余料最少？
4.6 某厂有原料甲、乙，生产四种产品A，B，C，D，各参数如下表：
（1）求总收入最大的生产方案；
（2）当最优生产方案不变时，分别求出A，B，C，D的单价的变化范围；
（3）当最优基不变时，分别求出原料甲、乙的变化范围。
单位消耗 产品 A B C D 限额 原料 （公斤） 甲 3 2 10 4 18 乙 0 0 2 0.5 3 单价（万元/万件） 9 8 50 19
4.7 某厂生产A，B两种产品，分别由四台机床加工，加工顺序任意，在一个生产期内，各机床的有效工作时数，各产品在各机床的加工时数等参数如下表：
加工时数 机床 甲 乙 丙 丁 单 价 产品 （百元/件） A 2 1 4 0 2 B 2 2 0 1 3 有效时数 240 200 180 140 学习必备 欢迎下载
（1）求收入最大的生产方案；
（2）若引进新产品C，每件在机床甲，乙，丙，丁的加工时间分别是3，2，4，3小时，问C的单价多少时才宜投产？当C的单价为4百元时，求C投产后的生产方案。
（3）为提高产品质量，增加机床戊的精加工工序，其参数如下。问应如何安排生产。
产品 A B 有效时数
精加工时间 2 2.4 248
4.8 已知某厂生产有关参数： 单位消耗 产品 A B C D E 限额 原料 （公斤） 甲 0.1 0 0.2 0.3 0.1 600 乙 0.2 0.2 0.1 0 0.3 500 丙 0 0.3 0 0.2 0.1 300 单价（元） 4 3 6 5 8 （1）求最优生产方案； （2）根据市场情况，计划A至少生产500件，求相应生产方案； （3）因E滞销，计划停产，求相应生产方案；
（4）根据市场情况，限定C不超过1640件，求相应生产方案； （5）若限定原料甲需剩余至少50公斤，求相应生产方案； （6）若限定生产A至少1000件，生产B至少200件，求相应生产方案。
4.9 要从宽度分别为3m和5m的B1型和B2型两种标准卷纸中，沿着卷纸伸长的方向切割出宽度分别为1.5m，2.1m和2.7m
的A1型、A2型和A3型三种卷纸3000m，10000m和6000m。问如何切割才能使耗费的标准卷纸的面积最少。
4.10 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50％的税率纳税。此外还有以下限制：
（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元； （2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；
（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。 证券名称 证券种类 信用等级 到期年限 到期税前收益（％） A 市政 2 9 4.3 B 代办机构 2 15 5.4 C 政府 1 4 5.0 D 政府 1 3 4.4 E 市政 5 2 4.5
试解答下列问题：
（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
（2）如果能够以2.75％的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5％，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8％，投资应否改变？
4.11 某储蓄所每天的营业时间是上午9：00到下午5：00。根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下：
时间段（时） 9 ～10 10 ～11 11 ～12 12 ～1 1 ～2 2～3 3～4 4 ～5 学习必备 欢迎下载
服务员数量 4 3 4 6 5 6 8 8
储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9：00到下午5：00工作，但中午12：00到下午2：00之间必须安排1小时的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元。问该储蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？
4.12 一家保姆服务公司专门向顾主提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是从顾主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15％的保姆自动离职。
（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划；哪些季度需求的增加不影响招聘计划？可以增加多少？
（2）如果公司在每个季度结束后允许解雇保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。
4.13 某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A、B）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A、B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3，1，2，1（％），进货价格分别为6，16，10，15（千元/吨）；产品A、B的含硫量分别不能超过2.5，1.5（％），售价分别为9，15（千元/吨）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50吨，产品A，B的市场需求量分别为100吨、200吨。问应如何安排生产？
4.14. 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm。
现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30
根455mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm。为了使总费用最小，应如何下料？
4.15 某电力公司经营两座发电站，发电站分别位于两个水库上，位置如下图所示。 水源B 水源A 水库A 发电站A 水库B 发电站B
已知发电站A可以将水库A的1万m3的水转换为400千度电能，发电站B只能将水库B的1万m3的水转换为200千度电能。发电站A，B每个月的最大发电能力分别是60000千度，35000千度，每个月最多有50000千度电能够以200元/千度的价格售出，多余的电能只能够以140元/千度的价格售出。水库A，B的其他
产品 预测销售量（万件/周） 生产率（件/小时） 单位利润（元/件） A 7 1000 0.15 B 4.5 1000 0.3 有关数据如下（单位：万立方米）
水库A 水库B 水库最大蓄水量 2000 1500 水源流入水量 本月 200 40 下月 130 15 学习必备 欢迎下载
水库最小蓄水量 1200 800 水库目前蓄水量 1900 850
请你为该电力公司制定本月和下月的生产经营计划。（千度是非国际单位制单位，1千度＝103千瓦时）
4.16 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即任何一个阶段4名同学的顺序是一样的）。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示（单位：分钟）
秘书初试 主管复试 经理面试 同学甲 13 15 20 同学乙 10 20 18 同学丙 20 16 10 同学丁 8 10 15
这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨8:00，问他们最早何时能离开公司？
4.17 某工厂生产两种产品Ａ、Ｂ，分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的预测销售量、生产率和盈利如下表。
制定一合理的生产方案，要求依次满足下列目标： （1）充分利用现有能力，避免设备闲置； （2）周加班时间限制在10小时以内； （3）两种产品周生产量应满足预测销售量，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比；
（4）尽量减少加班时间。
第5章 微分方程模型
5.1 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？
5.2 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus增长模型
dp(t)dt?0.003p(t) 其中t以分钟计。在t?0时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食
鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是0.001p2(t)，其中p(t)是t时刻鲑
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鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。
（1）考虑到两种因素，试修正Malthus模型。
（2）假设在t?0是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数
p(t)，并问t??时会发生什么情况？
5.3 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度
与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间
T12放射物质的原子下降至原来的一半（T12称为该物质的半衰
期）试决定其衰变系数。
5.4 用具有放射性的C14测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中子与氮结合产生C14。植物吸收二氧化碳时吸收了C14，动物食用植物从植物中得到C14。在活组织中
C14的吸收速率恰好与C14的衰变速率平衡。但一旦动植物死亡，
它就停止吸收C14，于是C14的浓度随衰变而降低。由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚死亡时C14的衰变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。若测得古生物标本现在C14的衰变速率，由于C14的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。试建立用C14测古生物年代的模型（C14的半衰期为5568年）。
5.5 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代： （1）1950年从法国Lascaux古洞中取出的碳测得放射性计数率为0.97计数（g?min），而活树木样本测得的计数为6.68计数（g?min），试确定该洞中绘画的年代；
（2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为4.09计数（g?min），活数标本为6.68计数（g?min），试估计该建筑的年代。
5.6 一容器用一薄膜分成容积为VA和VB的两部分，分别
装入同一物质不同浓度的溶液。设该物质分子能穿透薄膜由高浓度部分向低浓度部分扩散，扩散速度与两部分浓度差成正比，比例系数称为扩散系数。试建立描述容器中溶液浓度变化的数学模型。设VA?VB?(l)，每隔100s测量其中一部分溶液的浓度共10次，具体数据为454，499，535，565，590，610，626，650，659，单位为mol/m3。试建立扩散系数，并决定2h后两部分中溶液的浓度各为多少。
5.7 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果已知了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。
5.8 根据经验当一种新产品投入市场后，随着人们对它拥有量的增加，其销售量s(t)的下降速度与s(t)成正比。广告宣传可给销售量添加一个增长速度，它与广告费a(t)成正比，但广告只
能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为M）。建立销量s(t)的模型。若广告宣传只进行有限时间t，且广告费为