离散数学作业5
离散数学图论部分形成性考核书面作
姓 名： 翟伟铮 学 号： 得 分： 教师签名： 业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。
要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第15周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。
一、填空题
1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 15 ．
2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是 {f} ．
3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则 G的结点 度数之和 等于边数的两倍．
4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且 等于出度 ．
5．设G=
6．若图G=
7．设完全图Kn有n个结点(n?2)，m条边，当n为奇数 时，Kn中存在欧拉回路． 8．结点数v与边数e满足 e=v-1 关系的无向连通图就是树．
9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去 4 条边后使之变成树．
10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 5 ． 二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．． 错。缺了一个条件，图G应该是连通图。如反例，图G是一个有孤立结点的图。 2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路．
错。图中有奇数度结点，所以不存在欧拉回路。
3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．
对。因为图中结点a、b、d、f的度数都为奇数，所以不是欧拉图。
如果沿着(a,d,g,f,e,b,c,a)，这样除起点和终点是a外，经过每个点一次且仅一次，所以存在一条汉密尔顿回路，是汉密尔顿图。
4．设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图．
错。假设图G是连通的平面图，根据定理，结点数为v，边数为e，应满足e?3v-6，但现在16?3*7-6，显
G
然不成立，所以假设错误。
5．设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．
对。根据欧拉定理，有v-e+r=2，结点数v=11，边数e=6，代入公式求出面数r=7。
三、计算题
1．设G=
v1
?00100?? ???0(1) v 2 ? v 5 (2)?1???0?0 ?? v3 ? v4 0110?1011?
?1101?0110??(3) v1，v2，v3，v4，v5v结点的度数依次为1，2，4，3，2。 (4)
?
1
v=<2 V, E>，2．图G其中V={ a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d,
? ? v5
e) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试
（1）画出G的图形； （2）写出G的邻接矩阵；
? ? （3）求出G权最小的生成树及其权值． v4 v3
a ? 2 1 ?0??1(1) 2 (2)A??1b ? ? c ?6 ?04 ?13 1 ?
? ?
5 e d a (3)
?
权值 W(T)=1+1+2+3=7 2 1
1101??0011?0011?
?1101?1110??3．已知带权图G如右图所示．
b G? 的最小生成树； (2)计算该生成树的权值．? c (1) 求图 (1) 3 1 ? e 2 1 d ? 7 5 (2) 权值(1+2+3+5+7)=18 3 4．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．
63
31
1
17
1
7
5
5
2
四、证明题
3
权为 2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=131
1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等．
证明：设G??V,E?，G??V,E??．则E?是由n阶无向完全图Kn的边删去E所得到的．所以对于任意结点u?V，u在G和G中的度数之和等于u在Kn中的度数．由于n是大于等于3的奇数，从而Kn的每个结点都是偶数度的（n?1 (?2)度），于是若u?V在G中是奇数度结点，则它在G中也是奇数度结点．故图G与它的补图G中的奇数度结点个数相等．
2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加
k条边才能使其成为欧拉图． 2证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数．
又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．
故最少要加
k条边到图G才能使其成为欧拉图． 2