A．第二象限 B．第三象限 C．第四象限 D．第二、四象限
1
3
【解析】y＝x的图象经过第一、三象限，y＝x2的图象经过第一象限，y＝x的图象经
－1
过第一、三象限．故选D.
【答案】D
(2)函数f(x)＝(m－m－1)xm＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，f（x1）－f（x2）满足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，ab<0，则f(a)＋f(b)的值( )
x1－x2
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【解析】由已知函数f(x)＝(m－m－1)xm＋m－3是幂函数， 可得m－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x，当m＝－1时，f(x)＝x， 对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足
3
－3
2
2
2
2
2
f（x1）－f（x2）
＞0，
x1－x2
函数是单调增函数，所以m＝2，此时f(x)＝x，
又a＋b>0，ab<0，可知a，b异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则f(a)＋f(b)恒大于0.
【答案】A
11
(3)若(a＋1)－<(3－2a)－，则实数a的取值范围是______________．
33
11
【解析】不等式(a＋1)－<(3－2a)－等价于a＋1>3－2a>0或3－2a 3323 1<0<3－2a.解得a<－1或 3 ?23?【答案】(－∞，－1)∪?，? ?32? 【点评】(1)幂函数的形式是y＝x(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． α 5 考点2 二次函数的解析式的求法 例2已知函数f(x)＝x2＋mx＋n(m，n∈R)满足f(0)＝f(1)，且方程x＝f(x)有两个相等的实数根． (1)求函数f(x)的解析式； (2)当x∈[0，3]时，求函数f(x)的值域． 【解析】(1)∵f(x)＝x＋mx＋n，且f(0)＝f(1)， ∴n＝1＋m＋n，∴m＝－1，∴f(x)＝x－x＋n. ∵方程x＝f(x)有两个相等的实数根，即x－2x＋n＝0有两个相等的实数根， ∴(－2)－4n＝0，∴n＝1，∴f(x)＝x－x＋1. 12 (2)由(1)知f(x)＝x－x＋1，此函数的图象是开口向上，对称轴为x＝的抛物线， 21?1?∴当x＝时，f(x)有最小值f??. 2?2? 3?1??1?12 而f??＝??－＋1＝，f(0)＝1，f(3)＝3－3＋1＝7， 4?2??2?2 2 2 2 2 2 2 ?3?∴当x∈[0，3]时，函数f(x)的值域是?，7?. ?4? 【点评】求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，利用所给出的条件，根据二次函数的性质进行求解． 考点3 二次函数的图象与性质 例3已知函数f(x)＝－2x2＋ax＋b且f(2)＝－3. (1)若函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，求函数f(x)在区间[－3，4]上的值域； (2)若函数f(x)在区间[3，＋∞)上递减，求实数b的取值范围． a??＝1， 【解析】(1)∵?4 ??－8＋2a＋b＝－3， ??a＝4， ∴? ??b＝－3. ∴f(x)＝－2x＋4x－3＝－2(x－1)－1，x∈[－3，4]， 2 2 ∴f(x)＝f(－3)＝－33，f(x)＝f(1)＝－1， minmax 6 ∴函数f(x)在区间[－3，4]上的值域为[－33，－1]. (2)∵函数f(x)在区间[3，＋∞)上递减， a ∴≤3，则a≤12， 4又∵f(2)＝－3， ∴b＝－2a＋5， ∵a≤12， ∴b≥－19. 例4已知函数f(x)＝(x－2)(x＋a)，其中a≤2. (1)若函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，求a的值； (2)若函数f(x)在区间[0，1]上的最小值是2，求a的值． 【解析】(1)因为f(x)＝(x－2)(x＋a)＝x＋(a－2)x－2a， 2－a 所以f(x)的图象的对称轴为直线x＝. 2由 2－a ＝1，解得a＝0. 2 2 2－a (2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝. 2 当a＝2时，f(x)的最小值为f(0)＝－4，显然与题意不符； 当0< 2－a <1，即0 因为f(x)在区间?0， ?? 2－a??2－a，1?上单调递增， 上单调递减，在区间???2??2? 2 ?2－a?＝－?2＋a?， 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f???2? ?2????2＋a?＝2，此方程无解； 令－???2? 当 2－aa ＝1－≥1，即a≤0时， 22 2 因为f(x)在区间[0，1]上单调递减， 所以在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝－(1＋a)， 令－(1＋a)＝2，解得a＝－3. 综上，a＝－3. 【点评】二次函数的图象与性质的确定与应用，关键是充分应用其对称轴及与坐标轴的 7 交点． 考点4 三个二次的综合应用 例5已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，设g(x)＝f(x)－kx. (1)当x∈[－2，2]时，g(x)为单调函数，求实数k的取值范围； (2)当x∈[1，2]时，g(x)<0恒成立，求实数k的取值范围． 【解析】(1)∵f(x)＝ax＋bx＋1(a>0)， f(－1)＝0且对任意实数x均有f(x)≥0成立； b ∴x＝－＝－1，且a－b＋1＝0； 2a即b＝2a，且a－b＋1＝0， 解得a＝1，b＝2； ∴f(x)＝x＋2x＋1. ∴g(x)＝f(x)－kx＝x＋(2－k)x＋1， ∵g(x)在[－2，2]上是单调函数， k－2k－2k－2∴x＝应满足：≥2或≤－2， 222即k≥6或k≤－2. ∴k的取值范围是{k|k≤－2或k≥6}． (2)若g(x)＝x＋(2－k)x＋1，x∈[1，2]时，g(x)<0恒成立， ??g（1）<0， 则? ?g（2）<0，???4－k<0，即? ?9－2k<0，? 2 2 2 2 9解得k>， 2 ?9? ∴k的取值范围是?k|k>?. 2?? 【点评】二次函数值恒大(小)于零，常结合二次函数的图象和判别式来考虑；利用二次不等式与二次方程之间的关系，即二次不等式解集区间的端点值是对应方程的解；关于二次方程根的分布问题，可以借助二次函数的图象直观考察，主要从判别式、对称轴、端点值这 8