(名师导学)2020版高考数学总复习第二章函数第9讲二次函数与幂函数练习理(含解析)新人教A版

A.第二象限 B.第三象限 C.第四象限 D.第二、四象限

1

3

【解析】y=x的图象经过第一、三象限,y=x2的图象经过第一象限,y=x的图象经

-1

过第一、三象限.故选D.

【答案】D

(2)函数f(x)=(m-m-1)xm+m-3是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,f(x1)-f(x2)满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值( )

x1-x2

A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断

【解析】由已知函数f(x)=(m-m-1)xm+m-3是幂函数, 可得m-m-1=1,解得m=2或m=-1, 当m=2时,f(x)=x,当m=-1时,f(x)=x, 对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足

3

-3

2

2

2

2

2

f(x1)-f(x2)

>0,

x1-x2

函数是单调增函数,所以m=2,此时f(x)=x,

又a+b>0,ab<0,可知a,b异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f(a)+f(b)恒大于0.

【答案】A

11

(3)若(a+1)-<(3-2a)-,则实数a的取值范围是______________.

33

11

【解析】不等式(a+1)-<(3-2a)-等价于a+1>3-2a>0或3-2a

3323

1<0<3-2a.解得a<-1或

3

?23?【答案】(-∞,-1)∪?,? ?32?

【点评】(1)幂函数的形式是y=x(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式.

(2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴.

α 5

考点2 二次函数的解析式的求法

例2已知函数f(x)=x2+mx+n(m,n∈R)满足f(0)=f(1),且方程x=f(x)有两个相等的实数根.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)当x∈[0,3]时,求函数f(x)的值域. 【解析】(1)∵f(x)=x+mx+n,且f(0)=f(1), ∴n=1+m+n,∴m=-1,∴f(x)=x-x+n.

∵方程x=f(x)有两个相等的实数根,即x-2x+n=0有两个相等的实数根, ∴(-2)-4n=0,∴n=1,∴f(x)=x-x+1.

12

(2)由(1)知f(x)=x-x+1,此函数的图象是开口向上,对称轴为x=的抛物线,

21?1?∴当x=时,f(x)有最小值f??. 2?2?

3?1??1?12

而f??=??-+1=,f(0)=1,f(3)=3-3+1=7,

4?2??2?2

2

2

2

2

2

2

?3?∴当x∈[0,3]时,函数f(x)的值域是?,7?.

?4?

【点评】求二次函数的解析式,关键是灵活选取二次函数解析式的形式,利用所给出的条件,根据二次函数的性质进行求解. 考点3 二次函数的图象与性质

例3已知函数f(x)=-2x2+ax+b且f(2)=-3.

(1)若函数f(x)的图象关于直线x=1对称,求函数f(x)在区间[-3,4]上的值域; (2)若函数f(x)在区间[3,+∞)上递减,求实数b的取值范围. a??=1,

【解析】(1)∵?4

??-8+2a+b=-3,

??a=4,

∴? ??b=-3.

∴f(x)=-2x+4x-3=-2(x-1)-1,x∈[-3,4],

2

2

∴f(x)=f(-3)=-33,f(x)=f(1)=-1,

minmax

6

∴函数f(x)在区间[-3,4]上的值域为[-33,-1]. (2)∵函数f(x)在区间[3,+∞)上递减, a

∴≤3,则a≤12, 4又∵f(2)=-3, ∴b=-2a+5, ∵a≤12, ∴b≥-19.

例4已知函数f(x)=(x-2)(x+a),其中a≤2. (1)若函数f(x)的图象关于直线x=1对称,求a的值; (2)若函数f(x)在区间[0,1]上的最小值是2,求a的值. 【解析】(1)因为f(x)=(x-2)(x+a)=x+(a-2)x-2a, 2-a

所以f(x)的图象的对称轴为直线x=.

2由

2-a

=1,解得a=0. 2

2

2-a

(2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=.

2

当a=2时,f(x)的最小值为f(0)=-4,显然与题意不符; 当0<

2-a

<1,即0

因为f(x)在区间?0,

??

2-a??2-a,1?上单调递增,

上单调递减,在区间???2??2?

2

?2-a?=-?2+a?,

所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f???2?

?2????2+a?=2,此方程无解;

令-???2?

2-aa

=1-≥1,即a≤0时, 22

2

因为f(x)在区间[0,1]上单调递减,

所以在区间[0,1]上的最小值为f(1)=-(1+a), 令-(1+a)=2,解得a=-3. 综上,a=-3.

【点评】二次函数的图象与性质的确定与应用,关键是充分应用其对称轴及与坐标轴的

7

交点.

考点4 三个二次的综合应用

例5已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0),若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,设g(x)=f(x)-kx.

(1)当x∈[-2,2]时,g(x)为单调函数,求实数k的取值范围; (2)当x∈[1,2]时,g(x)<0恒成立,求实数k的取值范围. 【解析】(1)∵f(x)=ax+bx+1(a>0), f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)≥0成立; b

∴x=-=-1,且a-b+1=0;

2a即b=2a,且a-b+1=0, 解得a=1,b=2; ∴f(x)=x+2x+1.

∴g(x)=f(x)-kx=x+(2-k)x+1, ∵g(x)在[-2,2]上是单调函数, k-2k-2k-2∴x=应满足:≥2或≤-2,

222即k≥6或k≤-2.

∴k的取值范围是{k|k≤-2或k≥6}.

(2)若g(x)=x+(2-k)x+1,x∈[1,2]时,g(x)<0恒成立,

??g(1)<0,

则? ?g(2)<0,???4-k<0,即? ?9-2k<0,?

2

2

2

2

9解得k>,

2

?9?

∴k的取值范围是?k|k>?.

2??

【点评】二次函数值恒大(小)于零,常结合二次函数的图象和判别式来考虑;利用二次不等式与二次方程之间的关系,即二次不等式解集区间的端点值是对应方程的解;关于二次方程根的分布问题,可以借助二次函数的图象直观考察,主要从判别式、对称轴、端点值这

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