2013年考研数三真题及答案解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、
１．当x?0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）
（A）x?o(x)?o(x) （B）o(x)o(x)?o(x) （C）o(x)?o(x)?o(x) （D）o(x)?o(x)?o(x)
【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例如当x?0时f(x)?x?x?o(x),g(x)?x?o(x)，但f(x)?g(x)?o(x)而不是
2332222222323o(x2)故应该选（D）．
2．函数f(x)?x?1x(x?1)lnxx的可去间断点的个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【详解】当xlnx?0时，x?1?exxlnx?1~xlnx，
limf(x)?limx?0x?1x(x?1)lnxx?1x(x?1)lnxx?1x(x?1)lnxxxxx?0?limxlnxxlnxxlnxx?0?1，所以x?0是函数f(x)的可去间断点．
1，所以x?1是函数f(x)的可去间断点． 2??，所以所以x??1不是函数f(x)的
limf(x)?limx?1x?1?limx?02xlnx?x??1limf(x)?limx??1?limxlnx?(x?1)lnxx??1可去间断点．
故应该选（C）．
３．设Dk是圆域D?(x,y)|x?y?1的第k象限的部分，记Ik?（ ）
（A）I1?0 （B）I2?0 （C）I3?0 （D）I4?0 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
?22???(y?x)dxdy，则
Dk12?Ik???(y?x)dxdy???d??(sin??cos?)rdr??k?1(sin??sin?)d?0(k?1)32?Dk2k212?k??1?sin??cos??|3k?2k?1?2
所以I1?I3?0,I2?22?,I4???，应该选（B）． 33４．设?an?为正项数列，则下列选择项正确的是（ ） （A）若an?an?1，则
??(?1)n?1?n?1an收敛；
（B）若
?(?1)n?1?n?1an收敛，则an?an?1；
（C）若
?an?1n收敛．则存在常数P?1，使limnan存在；
n???p（D）若存在常数P?1，使limnan存在，则
n??p?an?1n收敛．
【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．
此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一条件liman?0，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，
n??选项（B）也不正确，反例自己去构造．
５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价． （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价． （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价． （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．
【详解】把矩阵A，C列分块如下：A???1,?2,?,?n?,C???1,?2,?,?n?，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知?i?bi1?1?bi2?2???bin?n(i?1,2,?,n)，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示．同时由于B可逆，即A?CB，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）．
?1?1a1??200?????aba0b06．矩阵??与矩阵??相似的充分必要条件是 ?1a1??000?????（A）a?0,b?2 （B）a?0，b为任意常数
（C）a?2,b?0 （D）a?2，b为任意常数
?1a1??200??200???????【详解】注意矩阵?0b0?是对角矩阵，所以矩阵A=?aba?与矩阵?0b0?相
?1a1??000??000???????似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．
??1?E?A??a?12?a??b?a?1?a???(?2?(b?2)??2b?2a2)
??1从而可知2b?2a?2b，即a?0，b为任意常数，故选择（B）．
227．设X1,X2,X3是随机变量，且X1~N(0,1),X2~N(0,2),X3~N(5,3)，
Pi?P??2?Xi?2?，则
（A）P1?P2?P3 （B）P2?P1?P3 （C）P3?P2?P1 （D）P1?P3?P2 【详解】若X~N(?,?)，则
2X???~N(0,1)
X2????P?P?2?X?2?P?1??1P?2?(2)?1，???2?(1)?1， 2212????2?5X3?52?5??7??7?P3?P??2?X3?2??P??????(?1)????????????1)?33??3??3??3，
?7?P3?P2?1?????3?(1)?2?3?(1)?0．
?3?故选择（A）．
8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为 X P Y P 则P?X?Y?2??（ ） （A）
-1 1/3 0 1/3 1 1/3 0 1/2 1 1/4 2 1/8 3P 1/8 1111 （B） （C） （D） 12862