1.2.3 解决有关测量角度的问题
从容说课
本课时是一个有关测量角度的问题，即课本上的例6.在这里，能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维．借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法． 教学重点 能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系． 教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题. 教具准备 三角板、投影仪（多媒体教室）
三维目标
一、知识与技能
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题. 二、过程与方法
本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力．除了安排课本上的例6，还针对性地选择了既具典型性又具有启发性的1～2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透．课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三． 三、情感态度与价值观
培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神.
教学过程
导入新课
设置情境设问
师 前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题．然而在实际的生活中,人们又会遇到新的问题，仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决，大家身边有什么例子吗？
生 像航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向. 生 飞机在天上飞行时，如何确定地面上的目标.
师 实际生活当中像这样的例子很多，今天我们接着来探讨这方面的测量问题． 推进新课 【例1】（幻灯片放映）如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75° 的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01 n mile) [合作探究] 学生看图思考．
师 要想解决这个问题，首先应该搞懂“北偏东75°的方向”． 生 这是方位角．
生 这实际上就是解斜三角形，由方位角的概念可知，首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB，就可以知道AC的方向和路程．
师 根据大家的回答，我们已经很清楚解题思路．下面请同学写一下解题过程. 生解：在△ABC中，∠ABC=180°- 75°+ 32°=137°，根据余弦定理，
AC?AB2?BC2?2AB?BC?cos?ABC?67.52?54.02?2?67.5?54.0?cos137?,≈113.15. 根据正弦定理,
BCAC?,,
sin?CABsin?ABCBCsin?ABC54.0sin137?≈0.325 5, sin?CAB??AC113.15所以∠CAB≈19.0°,75°-∠CAB=56.0°.
答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15 n mile.
师 这道题综合运用了正、余弦定理，体现了正、余弦定理在解斜三角形中的重要地位． 【例2】某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ [合作探究]
师 你能否根据题意画出方位图？（在解斜三角形这一节里有好多都要把实际问题画出平面示意图，图画的好坏有时也会影响到解题，这是建立数学模型的一个重要方面） 生甲 如右图．
师 从图上看这道题的关键是计算出三角形的各边，还需要什么呢? 生 引入时间这个参变量,可以设x小时后追上走私船.
生 如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,∠ACB=75°+45°=120°,则由余弦定理，可得 (14x)=9+(10x)-2×9×10xcos120°,∴化简得32x-30x-27=0，即x=所以BC = 10x =15,AB =14x =21. 又因为sin∠BAC =
2
2
2
2
39或x=- (舍去). 216BCsin120?15353???,∴∠BAC=38°13′,或∠BAC=141°47′
AB21214（钝角不合题意，舍去）.
∴38°13′+45°=83°13′.
答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船. 师 这位同学是用正、余弦定理来解决的，我们能不能都用余弦定理来解决呢？ 生 同上解得BC=15,AB=21, 在△ABC中，由余弦定理，得
AC2?AB2?BC281?441?22511cos?CAB???≈0.785 7,
2AC?AB2?9?2114∴∠CAB≈38°13′,38°13′+45°=83°13′.
∴巡逻艇应沿北偏东83°13′的方向追赶，经过1.4小时追赶上该走私船． 课堂练习
课本第18页练习.
答案：运用余弦定理求得倾斜角α约为116.23°. [方法引导]
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解． [知识拓展]
1.如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里到C处，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？ 解：在△ABC中，BC=30，B=30°， ∠ACB=180°-45°=135°, ∴A=15°.
BCAC30AC,∴. ??sinAsinBsin15?sin30?30sin30?∴AC??60cos15??156?152.∴A到BC所在直线的距离为
sin15?由正弦定理知
AC·sin45°=（156+152）·
2=15（3+1）≈40.98＞38（海里）， 2∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险． 答：不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．
2.如图，有两条相交成60°角的直线XX′、YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲在离O点3千米的A点，乙在离O点1千米的B点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y方向步行，
（1）起初，两人的距离是多少？