专题综合检测（二）
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝A.－5555 B.－ C. D. 3993
3
， 3
3
，则cos 2α＝（A） 3
解析：sin α＋cos α＝
12
两边平方可得1＋sin 2α＝?sin 2α＝－，
33∵α是第二象限角，因此sin α＞0，cos α＜0， 所以cos α－sin α＝－（cos α－sin α）＝－
2
2
2
215
1＋＝－. 33
5
. 3
∴cos 2α＝cosα－sinα＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）＝－
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝（A）
A.
77724 B.－ C.± D. 25252525
解析：∵8b＝5c，由正弦定理得8sin B＝5sin C. 又∵C＝2B，∴8sin B＝5sin 2B.
所以8sin B＝10sin Bcos B.易知sin B≠0， 472
∴cos B＝，cos C＝cos 2B＝2cos B－1＝. 525
π?2?3.函数y＝2cos?x－?－1是（A）
4??A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数 π
C.最小正周期为的奇函数
2π
D.最小正周期为的偶函数
2
π?π?2π?2?解析：因为y＝2cos?x－?－1＝cos?2x－?＝sin 2x为奇函数，T＝＝π.故选4?2?2??A.
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，则A＝（D）
A.30° B.30°或105° C.60° D.60°或120°
5. （2014·安徽卷）若将函数f（x）＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（C）
A.
ππ3π3π B. C. D. 8484
π??解析：由题意f（x）＝sin 2x＋cos 2x＝2sin?2x＋?，将其图象向右平移φ个单
4??π?π?π??位，得2sin?2（x－φ）＋?＝2sin?2x－2φ＋?，要使图象关于y轴对称，则－2
4?4?4??
φ＝＋kπ，解得φ＝－－
π
2π8
kπ
3π
，当k＝－1时，φ取最小正值.故选C. 28
→
6.（2015·新课标Ⅰ卷）已知点A（0，1），B（3，2），向量AC＝（－4，－3），则向量→
BC＝（A）
A.（－7，－4） B.（7，4） C.（－1，4） D.（1，4）
→
解析：解法一 设C（x，y），则AC＝（x，y－1）＝（－4，－3）， 所以?
?x＝－4，?
→
从而BC＝（－4，－2）－（3，2）＝（－7，－4）.故选A.
??y＝－2，
→→→→解法二 AB＝（3，2）－（0，1）＝（3，1），BC＝AC－AB＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4）.故选A.
7.在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量m＝（b－c，c－a），n＝（b，c＋a），若向量m⊥n，则角A的大小为（B）
A.
πππ2π
B. C. D. 6323
解析：∵m＝（b－c，c－a），n＝（b，c＋a）且m⊥n，
22222
∴m·n＝（b－c，c－a）·（b，c＋a）＝b（b－c）＋c－a＝0，即b＋c－a＝bc，
b2＋c2－a2bc1π
又∵cos A＝＝＝，0＜A＜π，∴A＝. 2bc2bc23
8.设0≤x＜2π，且 1－sin 2x＝sin x－cos x，则x的取值范围是（B）
π5π
A.0≤x≤π B.≤x≤ 44
C.
π7ππ3π≤x≤ D.≤x≤ 4422
→→
9.（2015·新课标Ⅰ卷）设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则（A） 1→4→→→1→4→
A.AD＝－AB＋AC B.AD＝AB－AC
3333→4→1→→4→1→
C.AD＝AB＋AC D.AD＝AB－AC
3333
4→1→1→4→→→→→1→→1→→
解析：AD＝AC＋CD＝AC＋BC＝AC＋（AC－AB）＝AC－AB＝－AB＋AC.故选A.
333333
10.（2015·新课标Ⅰ卷）已知M（x0，y0）是双曲线C：－y＝1上的一点，F1，F2是
2
x2
2
C的两个焦点.若MF1·MF2＜0，则y0的取值范围是（A）
33?33???
，? B.?－，? 3?6??3?6
?2222??2323?C.?－，? D.?－，?
3?3??3?3A.?－→
解析：由题意知a＝2，b＝1，c＝3，∴ F1（－3，0），F2（3，0），∴ MF1＝（－→→→3－x0，－y0），MF2＝（3－x0，－y0）.∵ MF1·MF2＜0， ∴ （－3－x0）（3－x0）＋y0＜0，即x0－3＋y0＜0. ∵ 点M（x0，y0）在双曲线上， ∴ －y0＝1，即x0＝2＋2y0，
2∴ 2＋2y0－3＋y0＜0，∴ －
3?2?π
11.已知tan α＝－，则cos?＋α?＝（A）
5?4?A.
1
12.若向量a、b满足|a|＝|b|＝1，且（a＋b）·b＝，向量a、b的夹角为（B）
2A.
π2ππ5π B. C. D. 3366161598 B. C. D. 17171717
2
2
2
2
2
→→
x20
222
33
＜y0＜.故选A. 33
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上） 13.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，则角C＝ Ｗ.
解析：由（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab?a＋b－c＝－ab，根据余弦定理可得 cos C＝
222
a2＋b2－c212π
＝－?C＝. 2ab23
2π答案：
3
14.（2015·新课标Ⅱ卷）设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝ Ｗ.
解析：∵ λa＋b与a＋2b平行，∴ λa＋b＝t（a＋2b），即λa＋b＝ta＋2tb，∴
1λ＝，
2??λ＝t，
?解得 ?1＝2t，1?
t＝.
2
?????
1
答案：
2
15.当函数y＝sin x－3cos x（0≤x＜2π）取得最大值时，x＝ Ｗ.
?π?解析：y＝sin x－3cos x＝2sin?x－?，
3??ππ5π
0≤x＜2π?－≤x－＜，
333
?π?可知－2≤2sin?x－?≤2.
3??
ππ5π
当且仅当x－＝时，即x＝时取得最大值.
3265π
答案： 6
16.（2014·江苏卷）若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，则cos C的最小值是 Ｗ.
a2＋b2－c2
解析：由已知sin A＋2sin B＝2sin C及正弦定理可得a＋2b＝2c，cos C＝
2ab＝
?a＋2b?2
a＋b－??
?2?3a2＋2b2－22ab26ab－22ab2
2
2ab＝
8ab≥
8ab＝
6－222
，当且仅当3a＝2b即4
a2
＝时等号成立. b3
答案：
6－2
4
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）（2015·茂名一模）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsin A.
（1）求角B的大小；
（2）若a＝33，c＝5，求△ABC的面积及b. 解析：（1）∵a＝2bsin A，由正弦定理得sin A＝2sin Bsin A，由于sin A≠0，故有1sin B＝，
2
又∵B是锐角，∴B＝30°. （2）依题意得：
S△ABC＝acsin 30°＝×33×5×＝
2
2
2
121212153
， 4
∴由余弦定理b＝a＋c－2accos B可得
b2＝（33）2＋52－2×33×5×cos 30°
＝27＋25－45＝7，
∴b＝7.
2
18.（12分）（2015·安徽卷）已知函数f（x）＝（sin x＋cos x）＋cos 2x. （1）求f（x）最小正周期；
?π?（2）求f（x）在区间?0，?上的最大值和最小值.
2??
π?2π?分析：（1）化简可得f（x）＝2sin?2x＋?＋1，即可求出f（x）的最小正周期T＝
4?|2|?＝π；
π??2??π??（2）∵x∈?0，?，所以sin x?2x＋?∈?－，1?，即可求出最值.
2?4??2???
π??解析：（1）∵f（x）＝（sin x＋cos x）2＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝2sin?2x＋?4??＋1，
2π
∴f（x）最小正周期T＝＝π.
|2|
π?π5π??π?（2）∵x∈?0，?，∴2x＋∈?，?，
2?4?4?4?π??2??∴sin x?2x＋?∈?－，1?， 4??2??∴f（x）max＝1＋2，f（x）min＝0.
19.（14分）函数f（x）＝6cos
2
ωx2
＋3cos ωx－3（ω＞0）在一个周期内的图象如
图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形.
（1）求ω的值及函数f（x）的值域；
83?102?（2）若f（x0）＝，且x0∈?－，?，求f（x0＋1）的值. 5?33?