习题11
?9?9q??4.8?10C，q?1.8?10CABCAB2111-1．直角三角形的点上，有电荷，点上有电荷
试求C点的电场强度(设BC?0.04m，AC?0.03m)。
??q1E1?i24??r0AC解：q1在C点产生的场强：，
?q2j24??rq2在C点产生的场强：0BC，
?????44∴C点的电场强度：E?E1?E2?2.7?10i?1.8?10j；
C点的合场强：
方向如图：
?E2??jE?E?E?3.24?10V21224??im，
??arctan1.8?33.7??33?42'2.7。
?911-2．用细的塑料棒弯成半径为50cm的圆环，两端间空隙为2cm，电量为3.12?10匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。 解：∵棒长为lC的正电荷均
?2?r?d?3.12m，
Rl∴电荷线密度：
可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去d??q?1.0?10?9C?m?1O??2cmx?0.02m长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电
荷的塑料棒在O点产生的场强。 解法1：利用微元积分：
dEOx??14??0??Rd?R2cos?，
∴
解法2：直接利用点电荷场强公式：
由于dEO??cos?d???????d?2sin???2??4??0R4??0R4??0R2?0.72V?m?1；
?11??r，该小段可看成点电荷：q???d?2.0?10C，
2.0?10?11?1EO??9.0?10??0.72V?m4??0R2(0.5)2则圆心处场强：。
q?9方向由圆心指向缝隙处。
11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为?，四分之一圆弧
半径为R，试求圆心O点的场强。
解：以O为坐标原点建立xOy坐标，如图所示。 ①对于半无限长导线A?在O点的场强：
AB的
???E?(cos?cos?)?Ax4??R2?0??E??(sin??sin?)Ay?4??0R2?有：
②对于半无限长导线B?在O点的场强：
x?Ey
???E?(sin??sin)?Bx4??R2?0??E??(cos??cos?)By?4??0R2有：? ③对于AB圆弧在O点的场强：有：
?????2E?cos?d??(sin?sin?)?ABx?04??R4??R2?00???E?2?sin?d????(cos??cos?)?ABy?04??R4??0R20?
??????EOx?EOy?EO?(i?j)4??0R，4??0R，得：4??0R∴总场强：。
22E?EOx?EOy?或写成场强：
2?4??0R，方向45?。
Y11-4．一个半径为R的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为?，求环心处O点的场强E。
dqdE?24??R0解：电荷元dq产生的场为：
根据对称性有：
dq；
??dE?d?Ry?0，则：
?o?dEXE??dEx??dEsin???方向沿x轴正向。即：
0?Rsin?d???4??0R22??0R，
?E???i2??0R。
11-5．带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度 为
???0sin?，式中?0为一常数，?为半径R与x轴
所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度。
?0sin?d??dldE??24??R4??0R， 0解：如图，
??dEx?dEcos????dEy?dEsin?考虑到对称性，有：Ex?0；
∴
E??dEy??dEsin???y轴负向。
?0?0sin2?d??0?0?(1?cos2?)d???4??0R4??0R?028?0R，
方向沿
11-6．一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为?，求球心O处的电场强度。 解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为dl?Rd?，所带电荷：dq?2?r?dl。
dE?利用例11-3结论，有：
xdq4??0(x?r)2322???2?rxdl4??0(x?r)2322 r?Ox
dE?∴
??2?Rcos??Rsin??Rd?4??0[(Rsin?)2?(Rcos?)2]32，
?E?2?0化简计算得：
??201?sin2?d??24?0???E?i4?0，∴。
11-7．图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为?。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即E?x图线(设原点在带电平板的中央平面上，
Ox轴垂直于平板)。
解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面S1为高斯面， 当
dx?2时，由
??S1??E?dS?2E??S和
?q?2x??S，
d2E?有：当
?x?0；
??d2?0?E??dx??S2E?dS?2E??S和?q?2d??S，
2时，由??dE?2?0。图像见右。 有：
11-8．在点电荷q的电场中，取一半径为R的圆形平面(如图所示)， 平面到q的距离为d，试计算通过该平面的E的通量.
O?d2x?d2?0解：通过圆平面的电通量与通过与
为周界的球冠面的电通量相同。
A为圆心、AB为半径、圆的平面
?d2?R2球冠面一条微元同心圆带面积为：dS?2?rsin??rd?
【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r，有r∴球冠面的面积：
，
rOd??rsin?S??2?rsin??rd??2?rcos?0?20dcos??rx
d?2?r2(1?)r】
S∵球面面积为：球面?球冠??S球面S?4?r2?闭合球面?，通过闭合球面的电通量为：
q?0，
球冠由：球面
11-9．在半径为R的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的场强分布，并作E~r关系曲线。
1dqqd?球冠?(1?)??(1?)222r?2?R?d。 00，∴
解：由高斯定律
???S??1E?dS??qi?0S内，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r，长为l的高斯面。
??r2l?r2?rl?E?E?2?0?0，有（1）当r?R时，
；
??R2l?R22?rl?E?E??0，则：2?0r（2）当r?R时，
E；
?R2?0oRr