第五章 矩阵的特征值与特征向量
一、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及方法 （一）矩阵的特征值与特征向量及其相关概念
1.矩阵的特征值与特征向量的概念
设A是n阶矩阵，若存在数?及非零的n维列向量?，使得A????(??0)成立，则称?是矩阵A的特征值，称非零向量?是矩阵A属于特征值?的特征向量，特征向量为非零向量
2.矩阵的特征多项式与特征方程的概念
行列式f(?)??E?A称为矩阵A的特征多项式；?E?A=0称为矩阵A的特征方程
特征方程?E?A=0是?的n次方程，它的n个根就是矩阵A的n个特征值 若?是A的特征值，则?E?A=0，?E?A是不可逆矩阵 ★Ax?0的基础解系就是?=0的线性无关的特征向量★ 若r(A)?1，则A的n个特征值是?1?
（二）特征值与特征向量的性质
1.如果?1，?2都是特征值?i所对应的特征向量，则?1，?2的线性组合k1?1?k2?2（非零时）仍属于?i的特征向量（?i的特征向量不唯一，但一个特征向量只能属于一个特征值）
2.属于不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当?i时矩阵A的k重特征根时，矩阵A属于?i的线性无关的特征向量的个数不超过k个；因A只有n个特征值，故A的特征向量虽有无穷多个，但线性无关的至多只有
?aii，?1?...?n?0
n个，并且若?1，?2是矩阵A的不同特征值，?1，?2分别是?1，?2的特证向量，则?1，?2的线性组合k1?1?k2?2不再是A的特证向量
★3.特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的乘积等于A行列式的值★
????aii?1i?1nnii
??i?1Tni?A
★4. n阶矩阵A和它的转置矩阵A有相同的特征值★ 用特征方程的转置去证明 5. n阶矩阵可逆的充要条件是它的任一特征值均不等于0
★6.若?是矩阵A的特征值，则对任何正整数k，?是A的特征值★
（三）特征值与特征向量的求法
1．对于抽象矩阵，要根据特征值与特征向量的定义及其性质推导出特征值的取值A????(??0) 2．对于具体的数字矩阵，应先有特征方程?E?A=0，求出矩阵A的全部特征值，其中有可能重根，然后对每个不同特征值?i，分别解齐次方程??iE?A?x?0。设r(?iE?A)?ri，如果求出方程组的基础解系（即矩阵A关于特征值?i的线性无关的特征向量）?1,?2,...,?n?ri，则矩阵A属于特征值?i的全部特征向量
kkk1?1?k2?2?...?kn?ri?n?ri，其中k1，k2，...，kn?ri是不全为0的任意常数
二、相似矩阵的概念与性质 （一）相似矩阵的概念
?1设A，B是n阶矩阵，如存在可逆矩阵PAP?B，则称矩阵A与B相似，记为A~B
(二)相似矩阵的性质
1.如A~B
??E?A??E?B，从而A，B有相同的特征值 ??aii??bii（A，B有相同的迹）
i?1i?1nn?r(A)?r(B)秩相同 ?A?B
nn?1-1nn-12.如A~B，设PAP?B，则P(A?kE)P=B?kE、A?kE=B?kE； PAP=B、A=B★
TT3.如A~B，则A~B
-1-14.如A~B，且A，B都可逆，则A~B
5.如A~B，B~C，则A~C
三、矩阵可相似对角化的充要条件及解题步骤（特征值与对角矩阵的关系） (一)矩阵可相似对角化的概念
n阶矩阵A如果和对角矩阵?相似，则称A可以相似对角化，记成A~?，并称?是A的相似标准型
P?1AP??，则?对角线上的元素都是A的全部特征值，P的每一列是对应的特征向量
★（二）矩阵可相似对角化的充要条件★
1. A与对角矩阵相似的充要条件?A~? ★（1）A有n个线性无关的特征向量★
★（2）对于矩阵A的每个ni重特征值?i，其线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数ni，亦即秩r(?iE?A)?n?ni★
如果A~?，且?0是ni重特征根，则?0应有ni个线性无关的特征向量，即齐次方程组(?0E?A)x?0的基础解系应含有n?r(?0E?A)=ni个向量，故可通过秩r(?iE?A)来判断A是否能对角化
n列的数量（阶数）—r特征矩阵的秩=ni重根的数量或ni重特征值必有ni个线性无关的特征向量
2. A与对角矩阵相似的充分条件
（1）A有n个不同的特征值； （2）A是实对称矩阵（一定能对角化）?A~?
(三)相似对角化A为对角矩阵?的解题步骤
①先求出A的特征值?1，?2，...，?n ②再求所对应的线性无关的特征向量?1，?2，...，?n
??1????2?1? ③构造可逆矩阵P???1，?2，...，?n?，则PAP????...???n??（四）实对称矩阵的特性及用正交矩阵化A为相似矩阵标准形的解题步骤（要求P是正交矩阵）
★1.实对称矩阵的特性★P=P
（1）实对称矩阵必可对角化
（2）特征值全是实数，特征向量都是实向量 （3）不同特征值的特征向量相互正交
（4）ni重特征值必有ni个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(?iE?A)?n?ni
2.用正交矩阵化实对称矩阵A的解题步骤
可用正交化变换化实对称矩阵A为相似标准形，解题步骤类同（三），只是要保证P是正交矩阵，为此求出特征向量后因改造特征向量
（1）当实对称矩阵A的特征值相互不同时，仅需要把特征向量单位化就可用来构造矩阵P
（2）当特征值有重根?i时，要检查特征向量是否正交，否则必须对?i的特征向量用施密特正交法处理，才能构造正交矩阵P（第三章，前提是线性无关，因为不同特征值的特征向量线性无关，记得单位化）
（注）掌握用正交变换化实对称矩阵为对角形的方法，经常与二次型联系在一起，仅实对称矩阵才能用正交变换化为对角形
-1T题型总结
★1.求矩阵的特征值和特征向量；2. n阶矩阵A能否相似对角化的判定；3求相似时可逆矩阵P；4；求矩阵A中的参数；5.用特征值和特征向量反求A；6.相似对角化的应用求A；7，有关实对称矩阵的问题；
★?，?都是n维列向量，A???的秩为1；线性相关；行向量相关，秩向量线性相关；有特征值0（n-1重） ★求A~B的逆矩阵，要运用?来过渡，求两次的可逆矩阵，再运算
★设矩阵A的特征值为a，b，c；则A?kE的特征值为a?k，b?k，c?k
nn★A?????A????
nT★设A是3阶矩阵，?1，?2，?3是3维线性无关的列向量，且（应联想到矩阵P的特点）
A?1?4?1?4?2?3?3 A?2??6?1??2??3 A?3?0
?4-60??凑形式
-4-10则A(?1,?2,?3)?(4?1?4?2?3?1，?6?1??2??1，0)=(?1,?2,?3)?????310??★设A是n阶矩阵，A?E?xy，x、y都是n维列向量，且yx?2，求A的特征值、特征向量
2T 令B=xy，B=2B A的特征值为1?n?1?重和3；B?(?1,?2,....?n)；B?i?2?i 特征向量为?1列向
TT量（B?xy?(?1,?2,....?n)）秩为1，行向量相关，秩向量线性相关；有特征值为0；特征值0对应的特征向量为?n?1?重
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