第三章 行波法与积分变换法
(第十三讲)
分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D’alembert）公式 一、达朗贝尔公式
考察如下Cauchy问题：
?2u2?t2?a2?u?x2, -??x???, t?0, ut?0??(x), utt?0??(x), -??x???. 作如下代换;
????x?at,???x?at 利用复合函数求导法则可得
?u?u???u???u?x????x????x?????u??,?2u
?x2?(???????)(?u?u?2u?2u?2u?????)???2?2???????2同理可得
?2u22?u?2u?2u?t2?a(??2?2???????2), 代入（1）可得
?2u????＝0。 先对求积分，再对求积分，可得u(x,t)d的一般形式
u(x,t)?F(?)?G(?)?F(x?at)?G(x?at)
这里F,G为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知
F(x)?G(x)??(x),aF'(x)?aG'(x)??(x). 由（3）第二式积分可得
F(x)?G(x)?1a?x0?(t)dt?C，
利用(3)第一式可得
1）2）3） （ （ （
11xCF(x)??(x)??(t)dt?,?022a2
x11CG(x)??(x)??(t)dt?.?022a2所以，我们有
11x?atu(x,t)?[?(x?at)??(x?at)]??(t)dt （4）
22a?x?at此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题：
u?2uxy?3uyy?0,y?0,???x???,??xx ?2u?3x,u?0,???x???.yy?0??y?0解：其特征方程为
(dy)2?2dxdy?3(dx)2?0
由此可得特征线方程为
3x?y?c
x?y?d因此作变换
???3x?y, ????x?y从而可得
?2u＝0 ????从而有
u(x,y)?F(3x?y)?G(x?y)
由初始条件可得
F(3x)?G(x)?3x2?F(3x)?G(x)?0所以有
''
F(3x)?3G(x)?C，
从而可得
9x2F(3x)??C4 23xG(x)??C4故而可知
u(x,y)?F(3x?y)?G(x?y)?3x2?y2。
二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程
Auxx?2Buxy?Cuyy?Dux?Euy?Fu?0
称下常微分方程为其特征方程
A(dy)2?2Bdxdy?C(dx)2?0。
由前面讨论知道，直线x?at?常数为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波F(x?at)在特征线x?at?C1上取值为常数值F(C1)，右行波G(x?at)在特征线x?at?C2上取值为常数值G(C2)，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。
注：此方法可以推广的其他类型的问题。 （第十四讲）
三、公式的物理意义 由
u(x,t)?F(x?at)?G(x?at)
G(x?at)表示一个沿x轴正方其中F(x?at)表示一个沿x轴负方向传播的行波，
向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个
方向传播出去，其传播速度为a。因此此法称为行波法。 四、依赖区间、决定区域、影响区域
由方程的解（4）可以看出，解在（x,t）点的数值由x轴上区间[x-at,x+at]内的初始条件的值唯一确定，而与其他点上的初始条件的值无关。区间[x-at,x+at]称为点（x,t）的依赖区间
对初始直线t=0上的一个区间[x1,x2]，过x1作直线x=x1+at,过x2作直线x=x2-at,它们与[x1,x2]合成一个三角形区域，如图
则此三角形中任一点(x,t)的依赖区间都落在[x1,x2]中，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间[x1,x2]上的初始条件决定，与[x1,x2]之外的初始条件值无关。故称此三角形区域为[x1,x2]的决定区域。因此，在区间[x1,x2]上给定初始条件，就能在其决定区域中决定初值问题的解。
另一方面，过点x1，x2分别作直线x=x1-at,x=x2+at, 如图（） 则经过时间t后，受到区间[x1,x2]上初始扰动影响的区域为
x1?at?x?x2?at,t?0
而此区域之外的波动不受[x1,x2]上初始扰动的影响，称上不等式确定的区域为[x1,x2]的影响区域。