数学物理方程第三章行波法与积分变换法

第三章 行波法与积分变换法

(第十三讲)

分离变量法,它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法,是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法,一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔(D’alembert)公式 一、达朗贝尔公式

考察如下Cauchy问题:

?2u2?t2?a2?u?x2, -??x???, t?0, ut?0??(x), utt?0??(x), -??x???. 作如下代换;

????x?at,???x?at 利用复合函数求导法则可得

?u?u???u???u?x????x????x?????u??,?2u

?x2?(???????)(?u?u?2u?2u?2u?????)???2?2???????2同理可得

?2u22?u?2u?2u?t2?a(??2?2???????2), 代入(1)可得

?2u????=0。 先对求积分,再对求积分,可得u(x,t)d的一般形式

u(x,t)?F(?)?G(?)?F(x?at)?G(x?at)

这里F,G为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知

F(x)?G(x)??(x),aF'(x)?aG'(x)??(x). 由(3)第二式积分可得

F(x)?G(x)?1a?x0?(t)dt?C,

利用(3)第一式可得

1)2)3) ( ( (

11xCF(x)??(x)??(t)dt?,?022a2

x11CG(x)??(x)??(t)dt?.?022a2所以,我们有

11x?atu(x,t)?[?(x?at)??(x?at)]??(t)dt (4)

22a?x?at此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题:

u?2uxy?3uyy?0,y?0,???x???,??xx ?2u?3x,u?0,???x???.yy?0??y?0解:其特征方程为

(dy)2?2dxdy?3(dx)2?0

由此可得特征线方程为

3x?y?c

x?y?d因此作变换

???3x?y, ????x?y从而可得

?2u=0 ????从而有

u(x,y)?F(3x?y)?G(x?y)

由初始条件可得

F(3x)?G(x)?3x2?F(3x)?G(x)?0所以有

''

F(3x)?3G(x)?C,

从而可得

9x2F(3x)??C4 23xG(x)??C4故而可知

u(x,y)?F(3x?y)?G(x?y)?3x2?y2。

二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程

Auxx?2Buxy?Cuyy?Dux?Euy?Fu?0

称下常微分方程为其特征方程

A(dy)2?2Bdxdy?C(dx)2?0。

由前面讨论知道,直线x?at?常数为波动方程对应特征方程的积分曲线,称为特征线。已知,左行波F(x?at)在特征线x?at?C1上取值为常数值F(C1),右行波G(x?at)在特征线x?at?C2上取值为常数值G(C2),且这两个值随着特征线的移动而变化,实际上,波是沿着特征线方向传播的。称变换(2)为特征变换,因此行波法又称特征线法。

注:此方法可以推广的其他类型的问题。 (第十四讲)

三、公式的物理意义 由

u(x,t)?F(x?at)?G(x?at)

G(x?at)表示一个沿x轴正方其中F(x?at)表示一个沿x轴负方向传播的行波,

向传播的行波。达朗贝尔公式表明:弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个

方向传播出去,其传播速度为a。因此此法称为行波法。 四、依赖区间、决定区域、影响区域

由方程的解(4)可以看出,解在(x,t)点的数值由x轴上区间[x-at,x+at]内的初始条件的值唯一确定,而与其他点上的初始条件的值无关。区间[x-at,x+at]称为点(x,t)的依赖区间

对初始直线t=0上的一个区间[x1,x2],过x1作直线x=x1+at,过x2作直线x=x2-at,它们与[x1,x2]合成一个三角形区域,如图

则此三角形中任一点(x,t)的依赖区间都落在[x1,x2]中,因此解在此三角形区域中的数值完全由区间[x1,x2]上的初始条件决定,与[x1,x2]之外的初始条件值无关。故称此三角形区域为[x1,x2]的决定区域。因此,在区间[x1,x2]上给定初始条件,就能在其决定区域中决定初值问题的解。

另一方面,过点x1,x2分别作直线x=x1-at,x=x2+at, 如图() 则经过时间t后,受到区间[x1,x2]上初始扰动影响的区域为

x1?at?x?x2?at,t?0

而此区域之外的波动不受[x1,x2]上初始扰动的影响,称上不等式确定的区域为[x1,x2]的影响区域。

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