1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.) (1) limxcot2x?＿＿＿＿＿＿.
x?0(2)
??0tsintdt?＿＿＿＿＿＿.
(3) 曲线y??x0(t?1)(t?2)dt在点(0,0)处的切线方程是＿＿＿＿＿＿.
(4) 设f(x)?x(x?1)(x?2)???(x?n),则f?(0)?＿＿＿＿＿＿. (5) 设f(x)是连续函数,且f(x)?x?2?10f(t)dt,则f(x)?＿＿＿＿＿＿.
?a?bx2,x?0?(6) 设f(x)??sinbx在x?0处连续,则常数a与b应满足的关系是＿＿＿＿＿.
,x?0??x(7) 设tany?x?y,则dy?＿＿＿＿＿＿.
二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1) 已知y?arcsine?(2) 求
x,求y?.
dx?xln2x.
1xx?0(3) 求lim(2sinx?cosx).
?x?ln(1?t2),dyd2y(4) 已知?求及2.
dxdx?y?arctant,(5) 已知f(2)?211,f?(2)?0及?f(x)dx?1,求?x2f??(2x)dx.
002
三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把
所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设x?0时,曲线y?xsin1 ( ) x(A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线
(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线
(2) 若3a?5b?0,则方程x?2ax?3bx?4c?0 ( )
253(A) 无实根 (B) 有唯一实根 (C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根 (3) 曲线y?cosx(??2?x??2)与x轴所围成的图形,绕x轴旋转一周所成的旋转体的体
积为 ( )
??22(A) (B) ? (C) (D) ?
22(4) 设两函数f(x)及g(x)都在x?a处取得极大值,则函数F(x)?f(x)g(x)在x?a处
( )
(A) 必取极大值 (B) 必取极小值
(C) 不可能取极值 (D) 是否取极值不能确定
(5) 微分方程y???y?ex?1的一个特解应具有形式(式中a,b为常数) ( )
(A) ae?b (B) axe?b (C) ae?bx (D) axe?bx (6) 设f(x)在x?a的某个领域内有定义,则f(x)在x?a处可导的一个充分条件是( )
xxxx1h???hf(a?2h)?f(a?h)(B) lim存在
h?0hf(a?h)?f(a?h)(C) lim存在
h?02hf(a)?f(a?h)(D) lim存在
h?0h(A) limh[f(a?)?f(a)]存在
四、(本题满分6分)
求微分方程xy??(1?x)y?e
五、(本题满分7分)
设f(x)?sinx?
六、(本题满分7分)
证明方程lnx?2x(0?x???)满足y(1)?0的解.
?x0(x?t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).
x???1?cos2xdx在区间(0,??)内有且仅有两个不同实根. e0
七、(本大题满分11分)
对函数y?
x?1,填写下表： x2单调减少区间 单调增加区间 极值点 极值 凹(?)区间 凸(?)区间 拐点 渐近线
八、(本题满分10分)
设抛物线y?ax2?bx?c过原点,当0?x?1时,y?0,又已知该抛物线与x轴及直线
1x?1所围图形的面积为,试确定a,b,c使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V3最小.