数学分析论文中南财经政法大学统数学院金数1501张超杰
实数完备性基本定理的等价性
张超杰
（中南财经政法大学湖北武汉）
摘要：本文给出了实数理论的六个基本定理的循环证明 关键词：实数基本定理 ，等价性 ，数列 ，极限 ，收敛
Theequivalence of fundamental theorems of
completeness real numbers
ZhangChaojie
（Zhongnan University of Economics and Law，Hubei，Wuhan）
Abstract:In this paper, a cycle of six fundamental theorem of the theory of real numbers prove.
Keywords:Real number of the fundamental theorem；equivalence； series； limits；convergence.
一、实数基本定理的陈述
定理1(确界原理)非空有上(下)界数集,必有上(下)确界. 定理2(单调有界原理)任何单调有界数列必有极限.
定理3(区间套定理)若??an,bn??是一个区间套, 则存在唯一一点?,使得
??[an,bn],n?1,2,?.
定理4(有限覆盖定理)设[a,b]是一个闭区间,?为[a,b]上的一个开覆盖,则在?中存在有限个开区间,它构成[a,b]上的一个覆盖.
定理5（聚点原理）实轴上的有界无限点集至少有一个聚点.
定理6(柯西收敛准则)数列{an}收敛?对任给的正数?,总存在某一个自然数N,使得
?m,n?N时,都有|am?an|??.
二、定理1到定理6的循环证明
数学分析论文中南财经政法大学统数学院金数1501张超杰
定理1?定理2(确界原理?单调有界原理)
证：不妨设{xn}为单增有上界数列,即?M?0,?n??,有xn?M.
记U?{xn|n??},则由确界原理知U有上确界,不妨记为?,则??supU?R,从而???0,
?N??使得????xN??成立.因为{xn}是单调递增数列,所以?n?N,有
????xN?xn??????.故xn??,(n??). 定理2?定理3(单调有界定理?区间套定理)
从而可见数列?an?单增有上界,数列?bn?单减有下界故由单调有界定理可知
证：因为?an,bn???an?1,bn?1?,所以有a1?a2???an???bn???b2?b1
?a?R使得liman?a,?b?R使得limbn?b.
且?n?N有an?a,?n?N有b?bn,所以a,b??an,bn?,于是成立
n??n??0?b?a?bn?an.
又因为lim(bn?an)?0,所以a?b.记??a?b,从而存在性得证.
(3)定理3?定理4(区间套定理?有限覆盖定理)
证：(反证法) 假设闭区间[a,b]有一个开覆盖?不能用它的任有限个开区间覆盖.
定义性质P:不能用?中有限个开区间覆盖.
Step(1)将?a,b?等分为两个子区间,则至少有一个具有性质?,不妨记该区间为?a1,b1?,则;
n???ab???a,b?;
1,1?a2b2???a1,b1?;
?
Step(2)将?a1,b1?等分为两个子区间,则至少有一个具有性质?,不妨记该区间为?a2,b2?,则
?an,bn???an?1,bn?1?;
由此可得一个区间套??an,bn??且满足
Step(n)将?an?1,bn?1?等分为两个子区间,则至少有一个具有性质?,不妨记该区间为?an,bn?,则
an?bn?利用二等分法容易构造出满足性质Pb?a n2的区间套{[an,bn]}.故由区间套定理可知,存在唯一的
??[an,bn],从而?U(?,?)?U??,?N?0,?n?N,有[an,bn]?U(?,?)?U??,这与[an,bn]具有性质?矛盾.这就证明了有限覆盖定理.
定理4?定理5(有限覆盖定理?聚点原理)
证(反证法) 假设原命题不成立,则由于S是直线上的有界无限点集,即存在闭区间[a,b],使得
S?[a,b],所以?x?[a,b],?U(x,?),?U(x,?)只含S中的有限多项.从而得[a,b]的一个开覆盖记为?.由有限覆盖定理可知存在?的一个有限子覆盖记为?1.所以H1只含有S中的有限多个点,这显然与S?H1是矛盾的,故可知假设错误,原命题成立.
定理5?定理6(聚点原理?柯西收敛准则)
证不妨设{xn}是无穷基本列,即有???0,?N?0,使得?m,n?N有xm?xn??.易证{xn}有界.由聚点原理可知{xn}至少有一个聚点??R,????0,U(?,?)必含有{xn}的无限多项.从而
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???0,?n?N,
任取U(?,?)中满足
m?N的某项
xm,即可得到
xn???xn?xm?xm???2?.故xn??,(n??) 定理6?定理1(柯西收敛准则?确界原理)
证设是S一个有上界非空数集,则?b?R使得?x?S有x?b,取a?S构造区间[a,b].定义性质?,区间中至少有一个数属于S,且区间的右端点为的S一个上界.仿(9)的证明,利用二等分法容易构造出满足性质?的区间套{[an,bn]}则由???0,?N?0,?n?N时,有bn?an??.由于{an}单调递增,{bn}中的每一个元素都为{an}的上界.故?m?n?N,则有am?an?bn?an??.故由柯西收敛准则可知{an}收敛,记其极限为?.由(3.1)易证bn??,(n??).因此???0,?N1?0,?n?N1,有an,bn?U(?,?).由于bn都为S的上界,所以?也为S的上界.从而可知,?n?N1,?x?S,?x?[an,bn]?U(?,?).即????x??,故?为S的上确界.
参考文献
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