中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第7章课后习题详解

★★17.求过直线L:??2x?y?2z?1?0且在y轴和z轴有相同的非零截距的平面方程。

?x?y?4z?2?0思路:所求平面?过直线L,而L又表达为一般方程,因此可用平面束方程表示? 解:过已知直线L的平面束方程:2x?y?2z?1??(x?y?4z?2)?0

此方程化为:(2??)x?(??1)y?(4??2)z?2??1,

其中在y轴和z轴有相同的非零截距的平面应满足:? 代入得所求平面?:7x?2y?2z?1?0

★★★18.在平面2x?1?4??2???1 3?y?3z?2?0和平面5x?5y?4z?3?0所确定的平面束内,求两个相互

A(4,?3 , 1)。

垂直的平面,其中一个平面经过

解:过?将

?2x?y?3z?2?0的平面束方程:2x?y?3z?2??(5x?5y?4z?3)?0,

5x?5y?4z?3?0?A(4,?3 , 1)代入:4?4??0????1

A(4,?3 , 1)的平面?1:3x?4y?z?1?0

∴经过

平面束中和?1垂直的?2应满足:3(2?5?)?4(1?5?)?(3?4?)∴?2:x?2y?5z?3??0????1 30

★★19.用对称式方程及参数方程表示直线??x?y?z?1。

?2x?y?z?4知识点:直线三种方程形式之间的转换 解:设直线L:??x?y?z?1的方向矢为s,平面?1x?y?z?1的法矢n1,平面

?2x?y?z?4?22x?y?z?4的法矢n2

i∵sjk?n1 , s?n2 ∴s?n1?n2?1?11??2i?j?3k,

211再取L上的一点(0, 3/2, 5/2),得L的对称式方程:

xy?3/2z?5/2, ???213L的参数方程:x??2t, y?★★★★20.求与两直线L135?t, z??3t 22?x?3z?1和L2:??y?2z?3?y?2x?5垂直且相交的直线方程。 :??z?7x?2方法一:所求直线L(公垂线)应该既在过L、L1的平面上,又在过L、L2的平面上,所以L是两平

面的交线。

i解:L1的方向矢:s1?1jk0?3?3i?2j?k,

01?2ijkL2的方向矢:s2?2?10?i?2j?7k,

70?1i公垂线L的方向矢sjk?321?12i?20j?4k?4{3,?5,1} 127过L1的平面束方程:x?3z?1??1(y?2z?3)其中垂直于L的平面应满足:3?5?1?0?x??1y?(2?1?3)z?3?1?1?0,

?(2?1?3)?0??1?0,

得到过L1、L的平面?1:x?3z?1?0 过L2的平面束方程:2x?y?5??2(7x?z?2)?0?(7?2?2)x?y??2z?2?1?5?0

其中垂直于L的平面应满足:3(7?2?2)?5??2?0??2??11 20得到过L2、L的平面?1:37x?20y?11z?122?0

x?3z?1?0?∴L:?

37x?20y?11z?122?0?方法二:所求直线L?L1, L?L2,因此可求得L的方向矢,再求L、L2(或L、L1)的交点就可

求出L的对称式方程或参数式方程

i解:如方法一所解,可得公垂线L的方向矢s?3jk21?12i?20j?4k?4{3,?5,1}

127设L、L1的交点为(x0,y0,z0),则有:x0?3z0?1, y0?2z0?3,

?L:x?3t?3z0?1,y??5t?2z0?3,z?t?z0,代入L2 3543945?t?, z0???L:x?3t?,y??5t?,z?t?

728281428方法三:设L、L1的交点M0(x0,y0,z0),L、L2的交点M1(x1,y1,z1),根据条件可知:

M0M1?s1,M0M1?s2,从而求得M0,M1,得到过两点的直线方程

解:设已求出s1?3i?2j?k,s2?i?2j?7k,

M0(x0,y0,z0)满足:x0?3z0?1, y0?2z0?3,

M1(x1,y1,z1)满足:y1?2x1?5, z1?7x1?2,

M0M1?{x1?3z0?1, 2x1?2z0?2, 7x1?z0?2},由M0M1?s1,M0M1?s2, 1?x???3(x1?3z0?1)? 2(2x1?2z0?2)?(7x1?z0?2)?0?14 ??得:??(x1?3z0?1)? 2(2x1?2z0?2)?7(7x1?z0?2)?0?z0??528?439451111∴M0(x0,y0,z0)?(?,?,?),M1(x1,y1,z1)?(?,?,)

282828424x?1/4y?11/2z?1/4∴L: ??3?51★★★21.求与原点关于平面6x?2y?9z?121?0对称的点。

思路:过原点作平面的垂线L,在L上找出原点关于平面的对称点。 解:过原点垂直于平面的垂线L方向式就是平面的法矢∴L:

xyz, ??62?9设在L上原点关于平面的对称点的坐标为:M(x0,y0,z0),则有:

x0?6t0, y0?2t0 , z0??9t0,又M和原点到平面的距离相等可得:

36t0?4t0?81t0?121?121?t0??2,(舍去t0?0)

∴原点关于平面6x?2y?9z?121?0对称的点:(?12, ?4, 18)

?x?y?z?1?0 , 2)到直线?★★★22.求点P(3, ?1的距离。

2x?y?z?4?0?方法一:可参照习题7-7第11题的方法做

ijk?x?y?z?1?01?1??3j?3k??3{0,1,1} 解:直线L:?的方向矢s?1?2x?y?z?4?02?11可取s?{0,1,1},在L上取一点M(1,?2, 0),则点P(3, ?1 , 2)到直线L的距离d?MP?ss,

ijkMP?s?212??i?2j?2k?MP?s?3?d?01132 2方法二:过P作直线L的垂直平面?,?和L的交点即为P在L上的垂足。

解:设已求出直线L的方向矢s?{0,1,1},则过P垂直于直线L的平面?:y?1?z?2?0,

?x?y?z?1?0?x?13??2 ?和L的交点M:?2x?y?z?4?0??y??1/2,∴d?MP?2?y?z?1?0?z?3/2???x?y?z?1?0★★23.求直线?与平面x?2y?3z?3?0间夹角的正弦。

x?y?2z?2?0?知识点:直线与平面的夹角

ijkx?y?z?1?0?1?1?i?3j?2k, 解:直线L:?的方向矢s?1x?y?2z?2?0?1?12平面x?2y?3z?3?0的法矢n?{1, ?2, 3}

则由直线与平面的夹角?公式:sin??cos(s,n)??s?nsn?1 14★★★★24.设直线通过点P(?3, 5 , ?9),且和两直线L1?y?3x?5?y?4x?7,相交,:?L2:??z?2x?3?z?5x?10求此直线方程。

方法一:若设所求直线L和已知直线L1、L2的交点分别为M1,M2,直线PM1(即L)一定在过P和L1的平面上,直线PM2(即L)也一定在过P和L2的平面上。由此求得直线L的一般方程。

解:过L1:??y?3x?5的平面束方程为:3x?y?5??1(2x?z?3)?0,将P(?3, 5 , ?9)代

?z?2x?3

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