★★17．求过直线L:??2x?y?2z?1?0且在y轴和z轴有相同的非零截距的平面方程。
?x?y?4z?2?0思路：所求平面?过直线L，而L又表达为一般方程，因此可用平面束方程表示? 解：过已知直线L的平面束方程：2x?y?2z?1??(x?y?4z?2)?0
此方程化为：(2??)x?(??1)y?(4??2)z?2??1，
其中在y轴和z轴有相同的非零截距的平面应满足：? 代入得所求平面?：7x?2y?2z?1?0
★★★18．在平面2x?1?4??2???1 3?y?3z?2?0和平面5x?5y?4z?3?0所确定的平面束内，求两个相互
A(4,?3 , 1)。
垂直的平面，其中一个平面经过
解：过?将
?2x?y?3z?2?0的平面束方程：2x?y?3z?2??(5x?5y?4z?3)?0，
5x?5y?4z?3?0?A(4,?3 , 1)代入：4?4??0????1
A(4,?3 , 1)的平面?1：3x?4y?z?1?0
∴经过
平面束中和?1垂直的?2应满足：3(2?5?)?4(1?5?)?(3?4?)∴?2：x?2y?5z?3??0????1 30
★★19．用对称式方程及参数方程表示直线??x?y?z?1。
?2x?y?z?4知识点：直线三种方程形式之间的转换 解：设直线L：??x?y?z?1的方向矢为s，平面?1x?y?z?1的法矢n1，平面
?2x?y?z?4?22x?y?z?4的法矢n2
i∵sjk?n1 , s?n2 ∴s?n1?n2?1?11??2i?j?3k，
211再取L上的一点(0, 3/2, 5/2)，得L的对称式方程：
xy?3/2z?5/2， ???213L的参数方程：x??2t, y?★★★★20．求与两直线L135?t, z??3t 22?x?3z?1和L2:??y?2z?3?y?2x?5垂直且相交的直线方程。 :??z?7x?2方法一：所求直线L（公垂线）应该既在过L、L1的平面上，又在过L、L2的平面上，所以L是两平
面的交线。
i解：L1的方向矢：s1?1jk0?3?3i?2j?k，
01?2ijkL2的方向矢：s2?2?10?i?2j?7k，
70?1i公垂线L的方向矢sjk?321?12i?20j?4k?4{3,?5,1} 127过L1的平面束方程：x?3z?1??1(y?2z?3)其中垂直于L的平面应满足：3?5?1?0?x??1y?(2?1?3)z?3?1?1?0，
?(2?1?3)?0??1?0，
得到过L1、L的平面?1：x?3z?1?0 过L2的平面束方程：2x?y?5??2(7x?z?2)?0?(7?2?2)x?y??2z?2?1?5?0
其中垂直于L的平面应满足：3(7?2?2)?5??2?0??2??11 20得到过L2、L的平面?1：37x?20y?11z?122?0
x?3z?1?0?∴L：?
37x?20y?11z?122?0?方法二：所求直线L?L1, L?L2，因此可求得L的方向矢，再求L、L2（或L、L1）的交点就可
求出L的对称式方程或参数式方程
i解：如方法一所解，可得公垂线L的方向矢s?3jk21?12i?20j?4k?4{3,?5,1}
127设L、L1的交点为(x0,y0,z0)，则有：x0?3z0?1, y0?2z0?3，
?L：x?3t?3z0?1,y??5t?2z0?3,z?t?z0，代入L2 3543945?t?, z0???L：x?3t?,y??5t?,z?t?
728281428方法三：设L、L1的交点M0(x0,y0,z0)，L、L2的交点M1(x1,y1,z1)，根据条件可知：
M0M1?s1,M0M1?s2，从而求得M0,M1，得到过两点的直线方程
解：设已求出s1?3i?2j?k，s2?i?2j?7k，
M0(x0,y0,z0)满足：x0?3z0?1, y0?2z0?3，
M1(x1,y1,z1)满足：y1?2x1?5, z1?7x1?2，
M0M1?{x1?3z0?1, 2x1?2z0?2, 7x1?z0?2}，由M0M1?s1,M0M1?s2， 1?x???3(x1?3z0?1)? 2(2x1?2z0?2)?(7x1?z0?2)?0?14 ??得：??(x1?3z0?1)? 2(2x1?2z0?2)?7(7x1?z0?2)?0?z0??528?439451111∴M0(x0,y0,z0)?(?,?,?)，M1(x1,y1,z1)?(?,?,)
282828424x?1/4y?11/2z?1/4∴L： ??3?51★★★21．求与原点关于平面6x?2y?9z?121?0对称的点。
思路：过原点作平面的垂线L，在L上找出原点关于平面的对称点。 解：过原点垂直于平面的垂线L方向式就是平面的法矢∴L：
xyz， ??62?9设在L上原点关于平面的对称点的坐标为：M(x0,y0,z0)，则有：
x0?6t0, y0?2t0 , z0??9t0，又M和原点到平面的距离相等可得：
36t0?4t0?81t0?121?121?t0??2，（舍去t0?0）
∴原点关于平面6x?2y?9z?121?0对称的点：(?12, ?4, 18)
?x?y?z?1?0 , 2)到直线?★★★22．求点P(3, ?1的距离。
2x?y?z?4?0?方法一：可参照习题7-7第11题的方法做
ijk?x?y?z?1?01?1??3j?3k??3{0,1,1} 解：直线L：?的方向矢s?1?2x?y?z?4?02?11可取s?{0,1,1}，在L上取一点M(1,?2, 0)，则点P(3, ?1 , 2)到直线L的距离d?MP?ss，
ijkMP?s?212??i?2j?2k?MP?s?3?d?01132 2方法二：过P作直线L的垂直平面?，?和L的交点即为P在L上的垂足。
解：设已求出直线L的方向矢s?{0,1,1}，则过P垂直于直线L的平面?：y?1?z?2?0，
?x?y?z?1?0?x?13??2 ?和L的交点M：?2x?y?z?4?0??y??1/2，∴d?MP?2?y?z?1?0?z?3/2???x?y?z?1?0★★23．求直线?与平面x?2y?3z?3?0间夹角的正弦。
x?y?2z?2?0?知识点：直线与平面的夹角
ijkx?y?z?1?0?1?1?i?3j?2k， 解：直线L：?的方向矢s?1x?y?2z?2?0?1?12平面x?2y?3z?3?0的法矢n?{1, ?2, 3}
则由直线与平面的夹角?公式：sin??cos(s,n)??s?nsn?1 14★★★★24．设直线通过点P(?3, 5 , ?9)，且和两直线L1?y?3x?5?y?4x?7，相交，:?L2:??z?2x?3?z?5x?10求此直线方程。
方法一：若设所求直线L和已知直线L1、L2的交点分别为M1,M2，直线PM1（即L）一定在过P和L1的平面上，直线PM2（即L）也一定在过P和L2的平面上。由此求得直线L的一般方程。
解：过L1:??y?3x?5的平面束方程为：3x?y?5??1(2x?z?3)?0，将P(?3, 5 , ?9)代
?z?2x?3