入可得?1无解，可验证包含L1的平面z?2x?3就经过P(?3, 5 , ?9)，
?2x?3
∴通过点P(?3, 5 , ?9)和直线L1的平面方程：z过L2?y?4x?7的平面束方程为：4x?y?7??2(5x?z?10)?0，将P(?3, 5 , ?9)代入:?z?5x?10??6，∴通过点P(?3, 5 , ?9)和直线L2的平面方程：34x?y?6z?53?0
可得：?2∴L：?z?2x?3?
?34x?y?6z?53?0方法二：所求直线L在过P和直线L1的平面?1上，也在过P和直线L2的平面?2上，因此L的方向
矢垂直于两平面的法矢。
i解：L1的方向矢：s1?3j?10jk0?i?3j?2k，L1上取一点M1(0,5, ?3) ?1k2iL2的方向矢：s2?4?10?i?4j?5k，L2上取一点M2(0,?7, 10)
50?1i过P和直线L1的平面?1的法矢n1jk?s1?PM1?132?9(2i?k)
306ij4k5?4(34i?j?6k)
过P和直线L2的平面?2的法矢n2?s2?PM2?13?1219i∴L的方向矢：sj0k?1??i?22j?2k
?234?1?6∴L：
x?3y?5z?9?? 1222?x?t?7?★★★25．求点(2,3,1)在直线?y?2t?2上的投影。
?z?3t?2?思路：过点(2,3,1)作已知直线L的垂直平面?，?和L的交点即为所求投影
?x?t?7?解：∵直线L：?y?2t?2的方向矢为s?{1,2,3}，
?z?3t?2?∴过点(2,3,1)垂直于L平面?：(x?2)?2(y?3)?3(z?1)?0?x?2y?3z?11
?x?t?7?x0??5??将L：?y?2t?2代入平面??t?2??y0?2，该点即为所求投影点。
?z?4?z?3t?2?0?★★★26．求直线L:??2x?y?z?1?0在平面?:x?2y?z?0上的投影直线方程。
x?y?z?1?0?思路：过L作垂直于?的平面，投影直线在此平面上。 解：过L的平面束方程：
2x?y?z?1??(x?y?z?1)?0?(2??)x?(??1)y?(1??)z?1??，
其中垂直于?的平面应满足：(2??)?2(?则过L垂直于?的平面方程为：3x?∵投影直线也在?上 ∴投影直线方程：??1)?(??1)?0???1 4y?z?1?0，
?3x?y?z?1?0
x?2y?z?0?x?3的距离的
13，试求动点的轨迹方程，并求该轨迹
★★27．一动点与点P(1,2,3)的距离是它到平面
曲面与yoz平面的交线。
解：设动点坐标M(x,y,z)，根据条件可列式：
1x?3(x?1)?(y?2)?(z?3)??轨迹方程：2x2?3(y?2)2?3(z?3)2?6
31222?2x2?3(y?2)2?3(z?3)2?6?(y?2)2?(z?3)2?2??该轨迹曲面与yoz平面的交线：?
x?0x?0???x?y?3?0★★★★28．设有直线L:?及平面?:x?y?z?1?0，光线沿直线L投射到平面?x?z?1?0?上，求反射线所在的直线方程
Ls1 s s2? 图7-28
方法一：可求出过L垂直于平面?的平面?1，反射线一定在?1上；又可求出过L和平面?的交点且
垂直于?1的直线，再求过该直线与平面?的法矢成入射角的平面?2，反射线也在?2上。
解：直线L:??x?y?3?0的方向矢s?110?i?j?k，设?的法矢为n
x?z?1?0?101ijk?x?y?3?0?x0??3??求出（1）、直线L和平面?的交点M0：?x?z?1?0??y0?6
?x?y?z?1?0?z??4??0取和n成锐角的直线L的方向矢s??i?j?k，（∵此时cos(s,n)??1） 3（2）、直线L的方向矢s和平面?的法矢n的夹角?（入射角）成立：cos??s?nsn?1 3则和n方向一致长度为cos?s的矢量s1?cos?sn1?{1,1,1}， n3根据向量的三角形法则（见图7-28）可知反射线的方向矢s2∴反射线方程：
1?s?2(s1?s)?{5,?1,?1}，
3x?3x?6z?4 ??5?1?1注：取和n成锐角的直线L的方向矢s，是为保证能够根据三角形法则求出反射线的方向矢 方法二：用两平面的交线表达反射线 解：过直线L:??x?y?3?0的平面束方程：x?y?3??(x?z?1)?0，从中求出：
?x?z?1?0?0????1
（1）、过L垂直于平面?的平面?1应满足：(1??)?1??∴?1：
y?z?2?0
直线L:??x?y?3?0的方向矢s?110?i?j?k，设?的法矢为n，
?x?z?1?0101?s?nsn?1， 3?22
2233?(1??)?1??1???1??ijk则L和?的夹角?满足：sin?（2）过L和平面?的夹角为?的平面方程?2应满足：cos?∴??1??2：2x?y?z?4?0，
∴得交线L1：??x?y?z?1?0，事实上反射线L2也在过L1和?成?角的平面上，
?2x?y?z?4?0?x?y?z?1?0的平面束方程：x?y?z?1??1(2x?y?z?4)?0，
2x?y?z?4?0??223?(1?2?1)2?2(1??1)231?2?1?1??1?1??1
∴过直线L1：?过L1和?成?角的平面?3应满足：cos?3??1????3：2x?5y?5z?20?0，
8?2x?5y?5z?20?0由于反射线既在?1上，又在?3上，∴反射线L2：?
y?z?2?0?注：除了这两种方法以外，还有其他方法。 课外习题
★★★★1．如图7-（1）已知向量
OA?a,OB?b,?ODA??2。（1）求证
?ODA的面积
?a?ba?b2b2；
当a,b间的夹角?为何值时，?ODA的面积最大？