中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第7章课后习题详解

入可得?1无解,可验证包含L1的平面z?2x?3就经过P(?3, 5 , ?9),

?2x?3

∴通过点P(?3, 5 , ?9)和直线L1的平面方程:z过L2?y?4x?7的平面束方程为:4x?y?7??2(5x?z?10)?0,将P(?3, 5 , ?9)代入:?z?5x?10??6,∴通过点P(?3, 5 , ?9)和直线L2的平面方程:34x?y?6z?53?0

可得:?2∴L:?z?2x?3?

?34x?y?6z?53?0方法二:所求直线L在过P和直线L1的平面?1上,也在过P和直线L2的平面?2上,因此L的方向

矢垂直于两平面的法矢。

i解:L1的方向矢:s1?3j?10jk0?i?3j?2k,L1上取一点M1(0,5, ?3) ?1k2iL2的方向矢:s2?4?10?i?4j?5k,L2上取一点M2(0,?7, 10)

50?1i过P和直线L1的平面?1的法矢n1jk?s1?PM1?132?9(2i?k)

306ij4k5?4(34i?j?6k)

过P和直线L2的平面?2的法矢n2?s2?PM2?13?1219i∴L的方向矢:sj0k?1??i?22j?2k

?234?1?6∴L:

x?3y?5z?9?? 1222?x?t?7?★★★25.求点(2,3,1)在直线?y?2t?2上的投影。

?z?3t?2?思路:过点(2,3,1)作已知直线L的垂直平面?,?和L的交点即为所求投影

?x?t?7?解:∵直线L:?y?2t?2的方向矢为s?{1,2,3},

?z?3t?2?∴过点(2,3,1)垂直于L平面?:(x?2)?2(y?3)?3(z?1)?0?x?2y?3z?11

?x?t?7?x0??5??将L:?y?2t?2代入平面??t?2??y0?2,该点即为所求投影点。

?z?4?z?3t?2?0?★★★26.求直线L:??2x?y?z?1?0在平面?:x?2y?z?0上的投影直线方程。

x?y?z?1?0?思路:过L作垂直于?的平面,投影直线在此平面上。 解:过L的平面束方程:

2x?y?z?1??(x?y?z?1)?0?(2??)x?(??1)y?(1??)z?1??,

其中垂直于?的平面应满足:(2??)?2(?则过L垂直于?的平面方程为:3x?∵投影直线也在?上 ∴投影直线方程:??1)?(??1)?0???1 4y?z?1?0,

?3x?y?z?1?0

x?2y?z?0?x?3的距离的

13,试求动点的轨迹方程,并求该轨迹

★★27.一动点与点P(1,2,3)的距离是它到平面

曲面与yoz平面的交线。

解:设动点坐标M(x,y,z),根据条件可列式:

1x?3(x?1)?(y?2)?(z?3)??轨迹方程:2x2?3(y?2)2?3(z?3)2?6

31222?2x2?3(y?2)2?3(z?3)2?6?(y?2)2?(z?3)2?2??该轨迹曲面与yoz平面的交线:?

x?0x?0???x?y?3?0★★★★28.设有直线L:?及平面?:x?y?z?1?0,光线沿直线L投射到平面?x?z?1?0?上,求反射线所在的直线方程

Ls1 s s2? 图7-28

方法一:可求出过L垂直于平面?的平面?1,反射线一定在?1上;又可求出过L和平面?的交点且

垂直于?1的直线,再求过该直线与平面?的法矢成入射角的平面?2,反射线也在?2上。

解:直线L:??x?y?3?0的方向矢s?110?i?j?k,设?的法矢为n

x?z?1?0?101ijk?x?y?3?0?x0??3??求出(1)、直线L和平面?的交点M0:?x?z?1?0??y0?6

?x?y?z?1?0?z??4??0取和n成锐角的直线L的方向矢s??i?j?k,(∵此时cos(s,n)??1) 3(2)、直线L的方向矢s和平面?的法矢n的夹角?(入射角)成立:cos??s?nsn?1 3则和n方向一致长度为cos?s的矢量s1?cos?sn1?{1,1,1}, n3根据向量的三角形法则(见图7-28)可知反射线的方向矢s2∴反射线方程:

1?s?2(s1?s)?{5,?1,?1},

3x?3x?6z?4 ??5?1?1注:取和n成锐角的直线L的方向矢s,是为保证能够根据三角形法则求出反射线的方向矢 方法二:用两平面的交线表达反射线 解:过直线L:??x?y?3?0的平面束方程:x?y?3??(x?z?1)?0,从中求出:

?x?z?1?0?0????1

(1)、过L垂直于平面?的平面?1应满足:(1??)?1??∴?1:

y?z?2?0

直线L:??x?y?3?0的方向矢s?110?i?j?k,设?的法矢为n,

?x?z?1?0101?s?nsn?1, 3?22

2233?(1??)?1??1???1??ijk则L和?的夹角?满足:sin?(2)过L和平面?的夹角为?的平面方程?2应满足:cos?∴??1??2:2x?y?z?4?0,

∴得交线L1:??x?y?z?1?0,事实上反射线L2也在过L1和?成?角的平面上,

?2x?y?z?4?0?x?y?z?1?0的平面束方程:x?y?z?1??1(2x?y?z?4)?0,

2x?y?z?4?0??223?(1?2?1)2?2(1??1)231?2?1?1??1?1??1

∴过直线L1:?过L1和?成?角的平面?3应满足:cos?3??1????3:2x?5y?5z?20?0,

8?2x?5y?5z?20?0由于反射线既在?1上,又在?3上,∴反射线L2:?

y?z?2?0?注:除了这两种方法以外,还有其他方法。 课外习题

★★★★1.如图7-(1)已知向量

OA?a,OB?b,?ODA??2。(1)求证

?ODA的面积

?a?ba?b2b2;

当a,b间的夹角?为何值时,?ODA的面积最大?

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