中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第7章课后习题详解

解:平行于向量a?{6,7,?6}的单位向量有和a同向和反向两个,

∴a0??a1676??{6,7,?6}??{, , ?} a11111136?49?36★★9.已知两点

M1(4,2,1),M2(3,0,2),计算向量M1M2的模、方向余弦、方向角。

知识点:向量的坐标表示及代数运算

解:根据向量模、方向余弦、方向角的计算公式可得:

M1M2?{?1 , ?2 , 1}?M1M2?1?2?1?2 , cos???1?2,cos??22cos??12?3????? , ?? , ??2343

,求向量a。

★★10.已知向量a的模为3,且其方向角????60,??45知识点:向量的坐标表示及相关概念

解:根据向量、向量的模、方向余弦之间的关系可得:

a?a{cos?,cos?,cos?}?3{cos★★11.设向量a的方向余弦分别满足

?3,cos??3323,cos}?{,,} 43222(1)cos??0,(2)cos??1,(3)cos??cos??0

问这些向量和坐标轴或坐标面的关系如何?

知识点:向量的方向余弦

解:(1)cos??0表示向量和x轴正向夹角为

(2)cos?(3)cos?于z轴

★12.已知

?,因此该向量和x轴垂直,或平行于yoz面 2?1表示向量和y轴正向夹角为零,因此该向量和y轴平行且方向相同 ?cos??0表示向量和x、y轴正向夹角都为

?,说明该向量和x、y轴都垂直,因此平行2r?4,r与轴?的夹角是60,求Prj?r。

知识点:向量在轴上的投影

解:根据投影公式Prj?r?rcos(r,μ)?2?

(2,?1,7),它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4,?4,7,求该向量的起★★13.一向量的终点为B点

A的坐标。

知识点:向量在坐标轴上的投影

解:∵向量的坐标分量即为它在x轴、y轴和z轴上的投影,设起点A为A(x,y,z),则:

AB?{2?x, ?1?y, 7?z}?{4, ?4, 7}?(x,y,z)?(?2, 3, 0)

★★14.求与向量a?{16,?15,12}平行,方向相反,且长度为75的向量b。

知识点:向量的坐标表示及代数运算

解:由条件可得:b??a,b长度为75,∴ ??162?152?122?75????3

∵b和a反向,∴???3?b??a={?48,45,?36},

习题7-3

★★1.设

a?3 , b?5,且两向量的夹角???/3,试求(a?2b)?(3a?2b)。

知识点:向量的数量积及其运算规律

解:根据数量积的运算规律:(a?2b)?(3a?2b)?3a?2a?b?6b?a?4b

22?3a?4a?b?4b22,∵a?b?abcos(a?b)? M3(3,1,3)?15?(a?2b)?(3a?2b)??103 2★★2.已知M1(1,?1, 2), M2(3,3,1),,求同时与M1M2 , M2M3垂直的单位向量

知识点:向量的向量积

解:∵由向量积性质:a?b?a, a?b?b,M1M2?{2,4,?1} , M2M3?{0,?2, 2}

i∴M1M2 ? M2M3j4k?1?6i?4j?4k为同时与M1M2 , M2M3垂直的向量 2{3,?2, ?2}??{317,?217 , ?217}

?20?2∴所求单位向量为?13?2?2222★3.设力

f?2i?3j?5k作用在一质点上,质点由M1(1,1,2)沿直线移动到M2(3,4,5),求此力

所做的功(设力的单位为N,位移的单位为m)

知识点:数量积的物理意义

解:数量积的物理应用之一:力沿直线作功。位移为M1M2?{2,3,3},

∴W?f?M1M2?(2i?3j?5k)?(2i?3j?3k)?10(N?m)

?{4,?3,4)在向量b?{2,2,1}上的投影。

★4.求向量a知识点:向量在轴上的投影

解:根据公式Prjba?acos(a,b)?a★★5.设a?a?ba?b??2。

a?bb?{3,5,?2} , b?{2,1,4},问?与?有怎样的关系能使?a??b与z轴垂直?

知识点:两向量垂直的充要条件

解:根据两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为零,取z轴的单位向量{0,0,1),则

(?a??b)?{0,0,1}??2??4??0???2?

★★★6.在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为

x1的点P1处,有一与OP在O1成角?1的力F1作用着,

的另一侧与点O的距离为x2的点P2处,有一与OP2成角?2的力F2作用着,如图,问?1,?2,x1,

x2,F1

F2符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡?

F2 F1 ?2 x2 o 图7-3-6 x1 ?1

知识点:向量积的物理应用

解:P1处F1作用产生的力矩M1?OP1?F1,P2处F2作用产生的力矩M2?OP2?F2,要使杠

杆平衡,只要

M1?M2?x1F1sin?1?x2F2sin?2

★★7.设a?2i?3j?k , b?i?j?3k , c?i?2j,求

(1)(a?b)c?(a?c)b; (2)(a?b)?(b?c); (3)(a?b)?c

知识点:向量运算的坐标表示

解(1)(a?b)c?(a?c)b?8c?8b?{0 , ?8, ?24}

i (2)(ajk?b)?(b?c)?{3,?4, 4}?{2,?3, 3}?3?44??j?k

2?33ijk (3)(a?b)?c?(2?31)?c?{?8, ?5, 1}?{1,?2, 0}?2

1?13★★★8.直线

L通过点A(?2,1,3)和B(0,?1,2)求点C(10,5,10)到直线L的距离。

知识点:向量积

思路:在A,B,C为顶点组成的三角形中,AB边上的高即为所求距离。 解:设所求的距离值为h,AB?3,又根据向量积的性质:S?ABC?1AB?AC2

iAB?AC?212?S?ABC?jk?2?1??10i?26j?32k?AB?AC?30247

11AB?AC??3h?h?10222★★★★9.试证向量

ab?baa?b表示向量a与b夹角的平分角线向量的方向。

思路:按题意,只要证该向量在a方向上的投影和它在b方向上的投影相同。 解:设c?ab?baa?b,Prjac?ba?aab?abaa?cb?a????, aa(a?b)a(a?b)a?ba?bbb?aab?bbab?cb?a而Prjbc??????Prjac

bb(a?b)b(a?b)a?ba?b又c?ab?baa?b?ka?(1?k)b , (k?ba?b)∴c和a、b在同一平面上,

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4