中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第7章课后习题详解

双曲线x2?y2?1,母线平行于z轴的双曲柱面。

★★7.说明下列旋转曲面是怎样形成的:

x2y2z2y22???1; (2)x??z2?1; (3)x2?y2?z2?1。 (1)4994知识点:旋转曲面

222x2y2z2x2(?y?z)???1可变化为解:方程??1,∴方程表达的是:xoy坐标面上的49949x2y2??1绕x轴旋转一周所得的旋转曲面 曲线49x2y2z2x2z2???1也可看作是:xoz坐标面上的曲线??1绕x轴旋转一周所得的旋注:方程49949转曲面

★★8.指出下列各方程表示哪种曲面:

(1)x2?y2?2z?0; (2)x2?y2?0; (3)x2?y2?0

2x2y2??1 (4)y?3z?0; (5)y?4y?3?0; (6)

916y2?1; (8)x2?4y; (9)z2?x2?y2?0 (7)x?92答:(1)方程表达开口向着z轴正向的圆抛物面(或旋转抛物面)

(2)x(3)x2?y2?0?x?y或x??y,∴表达两个垂直于xoy面的平面:x?y;x??y ?y2?0?x?0,y?0∴表示z轴

y?3z?0的平面

2(4)平行于x轴且经过yoz面上的直线(5)

y?3和y?1这两个平行于xoz坐标面的平面

x2y2??1,母线平行于z轴的椭圆柱面 (6)准线为xoy坐标面上的椭圆

916y2?1,母线平行于z轴的双曲柱面 (7)准线为xoy坐标面上的双曲线x?92(8)准线为xoy坐标面上的抛物线x2?4y,母线平行于z轴的抛物柱面

(9)yoz坐标面上的直线

y?z绕z轴旋转一周所得的圆锥面

习题7-5

★★★1.画出下列曲线在第一象限内的图形:

??x?2?z?9?x2?y2(1)? ; (2)?y?4?x?y?0??解(1)

?x2?y2?a2; (3)?222?x?z?a

z42xy7-5-1-(1)

(2) (3)

zz?9?x2?y2y0x?yx7-5-1-(2) z 0 x y x 7-5-1-(3)

★★2.方程组??y?5x?2在平面几何与空间解析几何中各表示什么?

y?2x?5?xoy坐标面

答:方程组??y?5x?2在平面几何中表示两条直线的交点,在空间解析几何中表示垂直于

?y?2x?5的两平面的交线。

?x2y2???1在平面几何与空间解析几何中各表示什么?

★★3.方程组?49??x?2?x2y2???1在平面几何中表示一个点(2,0),在空间解析几何中表示椭圆柱面

答:方程组?49??x?2?x?2x2y2??1和平面x?2的交线:?。 49y?0?★★4.求曲面

x2?9y2?10z与yoz平面的交线。

?x2?9y2?10z?9y2?10z??解:yoz平面方程为x?0,∴交线为?

x?0??x?0?2x2?y2?z2?16★★5.分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线?的柱面方程。

222?x?z?y?0知识点:曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线

?2x2?y2?z2?16解:要求过曲线?2且母线平行于x轴的柱面方程,只要方程组消去变量x

22?x?z?y?0∴所求柱面方程为3y2?z2?16

?2x2?y2?z2?16要求过曲线?且母线平行于y轴的柱面方程,只要方程组消去变量y

222x?z?y?0?∴所求柱面方程为3x2?2z2?16

在xoy面上的投影方程。

★★6.求曲线??x?z?1222x?y?z?9?知识点:曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线

解:要求曲线??2x?z?122?x?y?z?92 在xoy面上的投影方程,只需方程组消去变量z

∴所求柱面方程为:x?y2?(1?x)2?9?2x2?y2?2x?8

★★7.求曲线??22y?z?1?0?x?z?3yz?2x?3z?3?0?22 在xoz面上的投影方程。

解:要求曲线?y?z?1?0?x?z?3yz?2x?3z?3?0 在xoz面上的投影方程,只需方程组消去变量y

?x2?4z2?2x?3?0∴所求投影方程为:?

y?0??x2?y2?z2?9★★★8.将曲线? 化为参数方程。

y?x?22思路:若将y?x代入x?y?z?9,可得2x?z?9,因此可通过椭圆方程的参数式求出曲

222线的参数式。

22解:将y?x代入x?y?z?9,可得2x?z?9,该方程可用参数式表达为:

222?32x?cos??2??22232?x?cos?,∴曲线?x?y?z?9的参数式为?y?32cos????22y?x????z?3sin??z?3sin???

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