y x 图7-8-3-3
（4） x
0 ?0, y?0,z?0, x2?y2?R2,y2?z2?R2，在第一卦限内。
z xy 图7-8-3-4 总习题七
x ★★★1．已知a , b , c为单位向量，且满足a ? b? c?0，计算a?b ? b?c? c?a。
知识点：向量的数量积
解：∵a ? b? c?0，∴(a ? b? c)?a?0?b?a ? c?a??a同理可得：a?b ? c?b2??1 （1）
??b??1 （2）
22b?c ? a?c??c??1 （3）
（a , b , c为单位向量）
∵向量的数量积满足交换律，将（1）、（2）、（3）式相加?a?b ? b?c? c?a??3 2★★★2．设三角形的三边
BC?a , CA?b , AB?c，三边中点依次为D、E、F，试证明
AD ? BE? CF?0
知识点：向量及其线性运算
1BC, AC??CA??b 2111?AD ??b?a，同理可得：BE ??c?b , CF ??a?c ；
2223∴AD ? BE? CF??(a?b?c)，∵a?b??c
2证明：根据向量线性运算的三角形法则，AD ? DC? AC, DC?∴
AD ? BE? CF?0
★★★3．设(a ?3 b)?(7a ?5 b),(a ?4 b)?(7a ?2 b)，求(a,b)。
?知识点：向量的数量积及其性质
解：∵(a ?3 b)?(7a ?5 b),(a ?4 b)?(7a ?2 b)
∴(a ?3 b)?(7a ?5 b)?0?7a ?16 a?b ?15 b?0；
2222(a ?4 b)?(7a ?2 b)?0?7a ?30 a?b ?8 b?0
??12a?b1?22??(a,b)?∴ 46 a?b ?23 b? a?b ? b, a? b?cos(a,b)?2 a b232。
★★★4．已知
a?2 , b?5 , (a,b)??2?3，问：系数?为何值时，向量m??a ?17 b与n?3a ? b垂直
知识点：向量的数量积及其性质
解：根据两向量垂直的充要条件，要使向量m??a ?17 b与n?3a ? b垂直，必须
m?n?0?(?a ?17 b)?(3a ? b)?0?3?a?(51??)a?b?17b?0，
?2??a?b?abcos(a,b)??5， 由已知条件a?2 , b?5 , (a,b)?322?∴3?a2?(51??)a?b?17b?12??5(51??)?17?25?0???40
?{2,?1 , 2}共线且满足方程a?x??18的向量x。
2★★★5．求与向量a知识点：向量的线性运算以及向量的数量积
解：根据已知条件：x与a共线，可设x??a??{2,?1 ,2}，
由a?x??18?a??a??a??18????2?x?{?4, 2,?4}
?{?1 , 3,2}，b?{2, ?3 , ?4}，c?{?3, 12 , 6}，证明三向量a , b , c共面，并用a 2★★★6．设a和 b 表示 c
知识点：向量的混合积
解：根据向量混合积的性质：三个向量宫面的充要条件是它们的混合积为零
i∵a ? b ?j3k2??6i?3k?(a ? b)?c?6?3?3?6?0
?12?3?4∴a , b , c共面 若设c?x1a?x2b?{?3,12,6}?{?x1?2x2, 3x1?3x2, 2x1?4x2}，
??x1?2x2??3, 3x1?3x2?12, 2x1?4x2?6?x1?5,x2?1
∴c?5a?b
M0(x0,y0,z0)到一通过点
★★★7．证明点
A(a,b,c)、方向平行于向量s的直线的距离为
d?r?ss，其中r?AM0。
证明：该题类似于习题7-7的11题，把向量s的起点放在A(a,b,c)，设此时s的终点坐标为M1，d即为?M0AM1底边
AM1（即s）上的高，根据习题7-7的11题的结论：d?AM0?ss
★★★8．已知向量a , b 非零，且不共线，作c??a ? b，?是实数，证明：c最小的向量 c。
最小的向量 c垂直于a ，
并求当a?{1 , 2,?2}，b?{1, ?1 , 1}时，使c知识点：向量的数量积及其性质、一元函数的最值 解：c??a ? b?c?c?(?a ? b)?(?a ? b)?c设
2??2a?2?(a?b)?b222
f(?)??2a?2?(a?b)?b22，则由
f?(?)?2?a?2(a?b)?0
????a?ba2（唯一驻点），∴
c最小的向量 c??a?ba2a?b，
∵ c?a?(?a?ba2a?b)?a??a?b?b?a?0?c?a，
a?b411a?b?{ , ? , } 2333a当a?{1 , 2,?2}，b?{1, ?1 , 1}时，使c2最小的向量 c??★★9．将xoy坐标面上的双曲线4x?9y2?36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方
程。
知识点：旋转曲面及其方程
解：当xoy坐标面上的双曲线4x?9y?36绕x轴旋转时旋转曲面方程为：
4x222?9(?y2?z2)2?36?4x2?9y2?9z2?36。
绕y轴旋转时旋转曲面方程为：4(?★★★10．求直线
x2?z2)2?9y2?36?4x2?4z2?9y2?36
L：
x?1yz?1绕z轴旋转所得旋转曲面方程。 ??121知识点：求旋转曲面方程的原理
解：设所求旋转曲面上的动点坐标为(x,y,z)，且它是由直线L：
x?1yz?1上的某一点??121(x0,y0,z0)绕z轴旋转得到，所以，(x,y,z)和 (x0,y0,z0)满足：
（1）z22?z0；（2）x0?y0?x2?y2，
将
x0?1y0z0?12222??代入（2）可得：x?y?z?4(z?1) 121?z?2?x2?y2★★11．求曲线L:?在三个坐标面上的投影曲线方程。
22?z?(x?1)?(y?1)?z?2?x2?y2解：（1）方程组?消去z，
22?z?(x?1)?(y?1)?x2?y2?x?y?0可得L在xoy面上的投影曲线方程?
z?0??z?2?x2?y2?z?2?x2?y2（2）方程组?消去x ??22z?(x?1)?(y?1)z?2?x?y???2y2?2yz?z2?4y?3z?2?0可得L在yoz面上的投影曲线方程?
x?0??z?2?x2?y2?z?2?x2?y2（3）方程组?消去y ??22?z?(x?1)?(y?1)?z?2?x?y?2x2?2xz?z2?4x?3z?2?0可得L在yoz面上的投影曲线方程?
y?0??6x?6y?z?16?0★★12．求曲线L:?在三个坐标面上的投影方程。
2x?5y?2z?3?0?解：（1）方程组??6x?6y?z?16?0消去z，
?2x?5y?2z?3?0?2x?y?5?0可得L在xoy面上的投影曲线方程?
z?0?（2）方程组??6x?6y?z?16?0消去x
?2x?5y?2z?3?0?3y?z?1?0可得L在yoz面上的投影曲线方程?
x?0?（3）方程组??6x?6y?z?16?0消去y
?2x?5y?2z?3?0?6x?z?14?0
y?0?可得L在yoz面上的投影曲线方程?★★★13．求螺旋线
x?acos? , y?asin? , z?b?在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。
解：（1）螺旋线x?acos? , y?asin? , z?b?消去z，可得螺旋线在xoy面上的投影曲线方程：
?x2?y2?a2 ∵x,y总是满足：x?y?a∴投影方程为?z?0?222
（2）螺旋线x?acos? , y?asin? , z?b?消去x，可得螺旋线在yoz面上的投影曲线方程：
z?z?y?asin222 ∵x?acos ，代入x?y?a，∴投影方程为?b
b??x?0 （3）螺旋线x?acos? , y?asin? , z?b?消去y，可得螺旋线在xoz面上的投影曲线方程：