中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第7章课后习题详解

y x 图7-8-3-3

(4) x

0 ?0, y?0,z?0, x2?y2?R2,y2?z2?R2,在第一卦限内。

z xy 图7-8-3-4 总习题七

x ★★★1.已知a , b , c为单位向量,且满足a ? b? c?0,计算a?b ? b?c? c?a。

知识点:向量的数量积

解:∵a ? b? c?0,∴(a ? b? c)?a?0?b?a ? c?a??a同理可得:a?b ? c?b2??1 (1)

??b??1 (2)

22b?c ? a?c??c??1 (3)

(a , b , c为单位向量)

∵向量的数量积满足交换律,将(1)、(2)、(3)式相加?a?b ? b?c? c?a??3 2★★★2.设三角形的三边

BC?a , CA?b , AB?c,三边中点依次为D、E、F,试证明

AD ? BE? CF?0

知识点:向量及其线性运算

1BC, AC??CA??b 2111?AD ??b?a,同理可得:BE ??c?b , CF ??a?c ;

2223∴AD ? BE? CF??(a?b?c),∵a?b??c

2证明:根据向量线性运算的三角形法则,AD ? DC? AC, DC?∴

AD ? BE? CF?0

★★★3.设(a ?3 b)?(7a ?5 b),(a ?4 b)?(7a ?2 b),求(a,b)。

?知识点:向量的数量积及其性质

解:∵(a ?3 b)?(7a ?5 b),(a ?4 b)?(7a ?2 b)

∴(a ?3 b)?(7a ?5 b)?0?7a ?16 a?b ?15 b?0;

2222(a ?4 b)?(7a ?2 b)?0?7a ?30 a?b ?8 b?0

??12a?b1?22??(a,b)?∴ 46 a?b ?23 b? a?b ? b, a? b?cos(a,b)?2 a b232。

★★★4.已知

a?2 , b?5 , (a,b)??2?3,问:系数?为何值时,向量m??a ?17 b与n?3a ? b垂直

知识点:向量的数量积及其性质

解:根据两向量垂直的充要条件,要使向量m??a ?17 b与n?3a ? b垂直,必须

m?n?0?(?a ?17 b)?(3a ? b)?0?3?a?(51??)a?b?17b?0,

?2??a?b?abcos(a,b)??5, 由已知条件a?2 , b?5 , (a,b)?322?∴3?a2?(51??)a?b?17b?12??5(51??)?17?25?0???40

?{2,?1 , 2}共线且满足方程a?x??18的向量x。

2★★★5.求与向量a知识点:向量的线性运算以及向量的数量积

解:根据已知条件:x与a共线,可设x??a??{2,?1 ,2},

由a?x??18?a??a??a??18????2?x?{?4, 2,?4}

?{?1 , 3,2},b?{2, ?3 , ?4},c?{?3, 12 , 6},证明三向量a , b , c共面,并用a 2★★★6.设a和 b 表示 c

知识点:向量的混合积

解:根据向量混合积的性质:三个向量宫面的充要条件是它们的混合积为零

i∵a ? b ?j3k2??6i?3k?(a ? b)?c?6?3?3?6?0

?12?3?4∴a , b , c共面 若设c?x1a?x2b?{?3,12,6}?{?x1?2x2, 3x1?3x2, 2x1?4x2},

??x1?2x2??3, 3x1?3x2?12, 2x1?4x2?6?x1?5,x2?1

∴c?5a?b

M0(x0,y0,z0)到一通过点

★★★7.证明点

A(a,b,c)、方向平行于向量s的直线的距离为

d?r?ss,其中r?AM0。

证明:该题类似于习题7-7的11题,把向量s的起点放在A(a,b,c),设此时s的终点坐标为M1,d即为?M0AM1底边

AM1(即s)上的高,根据习题7-7的11题的结论:d?AM0?ss

★★★8.已知向量a , b 非零,且不共线,作c??a ? b,?是实数,证明:c最小的向量 c。

最小的向量 c垂直于a ,

并求当a?{1 , 2,?2},b?{1, ?1 , 1}时,使c知识点:向量的数量积及其性质、一元函数的最值 解:c??a ? b?c?c?(?a ? b)?(?a ? b)?c设

2??2a?2?(a?b)?b222

f(?)??2a?2?(a?b)?b22,则由

f?(?)?2?a?2(a?b)?0

????a?ba2(唯一驻点),∴

c最小的向量 c??a?ba2a?b,

∵ c?a?(?a?ba2a?b)?a??a?b?b?a?0?c?a,

a?b411a?b?{ , ? , } 2333a当a?{1 , 2,?2},b?{1, ?1 , 1}时,使c2最小的向量 c??★★9.将xoy坐标面上的双曲线4x?9y2?36分别绕x轴及y轴旋转一周,求所生成的旋转曲面方

程。

知识点:旋转曲面及其方程

解:当xoy坐标面上的双曲线4x?9y?36绕x轴旋转时旋转曲面方程为:

4x222?9(?y2?z2)2?36?4x2?9y2?9z2?36。

绕y轴旋转时旋转曲面方程为:4(?★★★10.求直线

x2?z2)2?9y2?36?4x2?4z2?9y2?36

L:

x?1yz?1绕z轴旋转所得旋转曲面方程。 ??121知识点:求旋转曲面方程的原理

解:设所求旋转曲面上的动点坐标为(x,y,z),且它是由直线L:

x?1yz?1上的某一点??121(x0,y0,z0)绕z轴旋转得到,所以,(x,y,z)和 (x0,y0,z0)满足:

(1)z22?z0;(2)x0?y0?x2?y2,

x0?1y0z0?12222??代入(2)可得:x?y?z?4(z?1) 121?z?2?x2?y2★★11.求曲线L:?在三个坐标面上的投影曲线方程。

22?z?(x?1)?(y?1)?z?2?x2?y2解:(1)方程组?消去z,

22?z?(x?1)?(y?1)?x2?y2?x?y?0可得L在xoy面上的投影曲线方程?

z?0??z?2?x2?y2?z?2?x2?y2(2)方程组?消去x ??22z?(x?1)?(y?1)z?2?x?y???2y2?2yz?z2?4y?3z?2?0可得L在yoz面上的投影曲线方程?

x?0??z?2?x2?y2?z?2?x2?y2(3)方程组?消去y ??22?z?(x?1)?(y?1)?z?2?x?y?2x2?2xz?z2?4x?3z?2?0可得L在yoz面上的投影曲线方程?

y?0??6x?6y?z?16?0★★12.求曲线L:?在三个坐标面上的投影方程。

2x?5y?2z?3?0?解:(1)方程组??6x?6y?z?16?0消去z,

?2x?5y?2z?3?0?2x?y?5?0可得L在xoy面上的投影曲线方程?

z?0?(2)方程组??6x?6y?z?16?0消去x

?2x?5y?2z?3?0?3y?z?1?0可得L在yoz面上的投影曲线方程?

x?0?(3)方程组??6x?6y?z?16?0消去y

?2x?5y?2z?3?0?6x?z?14?0

y?0?可得L在yoz面上的投影曲线方程?★★★13.求螺旋线

x?acos? , y?asin? , z?b?在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。

解:(1)螺旋线x?acos? , y?asin? , z?b?消去z,可得螺旋线在xoy面上的投影曲线方程:

?x2?y2?a2 ∵x,y总是满足:x?y?a∴投影方程为?z?0?222

(2)螺旋线x?acos? , y?asin? , z?b?消去x,可得螺旋线在yoz面上的投影曲线方程:

z?z?y?asin222 ∵x?acos ,代入x?y?a,∴投影方程为?b

b??x?0 (3)螺旋线x?acos? , y?asin? , z?b?消去y,可得螺旋线在xoz面上的投影曲线方程:

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