五年级奥数第八讲
———行程问题（二）
教学目标：
1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点；
2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题； 3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”；
4、 掌握寻找等量关系的方法来构建方程，利用方程解行程题．
知识精讲：
比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。
从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。
我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用v甲,v乙；t甲,t乙；s甲，s乙来表示，大体可分为以下两种情况： 1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过
的路程之比就等于他们的速度之比。
?s甲?v甲?t甲s甲s乙，这里因为时间相同，即,所以由 t?t?tt?，t??乙乙甲甲v甲v乙?s乙?v乙?t乙得到t?s甲s乙s甲v甲，，甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比 ??v甲v乙s乙v乙2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体
所用的时间之比等于他们速度的反比。
?s甲?v甲?t甲，这里因为路程相同，即s甲?s乙?s，由s甲?v甲?t??s乙?v乙?t乙得s?v甲?t甲?v乙?t乙，
甲s，乙?vt?乙乙
v甲t乙?，甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度v乙t甲比的反比。
行程问题常用的解题方法有 ⑴公式法
即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件； ⑵图示法
在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次
相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法； ⑶比例法
行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题； ⑷分段法
在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来； ⑸方程法
在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．
例题精讲：
模块一、时间相同速度比等于路程比
【例 1】 甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 :
3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 A、 B 两地相距多少千米？
【解析】 两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇
时所走过的路程比为 4 : 3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙
45?3?1个全程，与第一次相遇地775422点的距离为?(1?)?个全程．所以 A、 B两地相距30??105 (千米)．
7777两个人共走了 3个全程，三个全程中甲走了
【例 2】 B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出
发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。
【解析】 根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：
A10分钟10分钟B10分钟C
因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：
（1） 若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需
要10分钟，所以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信
A10分钟10分钟B10分钟5分钟5分钟C
当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信
在给乙送信，此时乙已经距B地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟）， 此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B地需要25分钟 所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）
（2） 同理先追及甲需要时间为120分钟
【例 3】 (“圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行80米，
乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距多少米？
【分析】 甲、乙两人速度比为80:60?4:3，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，
43相遇时甲走了全程的，乙走了全程的．第二次甲停留，乙没有停留，且前后
7743两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的，甲行了全程的．由
77于甲、乙速度比为4:3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙
334331走了?，所以甲停留期间乙行了???，所以A、B两点的距离为
747744160?7?=1680(米)．
4
【例 4】 甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之
比是 5 : 4，相遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%．这样当甲到达 B 地时，乙离 A地还有 10 千米．那么 A、B 两地相距多少千米？ 【解析】 两车相遇时甲走了全程的
54，乙走了全程的，之后甲的速度减少 20%，乙的速99度增加 20%，此时甲、乙的速度比为5?(1?20%):4?(1?20%)?5:6 ，所以甲到达 B 地时，乙又走了的距离为10?468581??，距离 A地??，所以 A、 B 两地9515915451?450 (千米)． 45
【例 5】 早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往
乙地．下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米．下午 4 点时小王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？
3
【解析】 从题中可以看出小王的速度比小张块．下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米．下
午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米，所以下午 2 点时小王距小张 15 千米，下午 3 点时小王超过小张 15千米，可知两人的速度差是每小时 30 千米．由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走 30 千米，那小张 3 小时走了15 30 45? ? 千米，故小张的速度是 45 ÷3 =15千米/时，小王的速度是15 ＋30 =45千米/时．全程是 45 ×3 =135千米，小张走完全程用了135 ＋15= 9小时，所以他是上午 10 点出发的。
【例 6】 从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中
下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走 15 千米，第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米，走下坡路比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？
【解析】 ⑴由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定．
从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路．这样的话，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程，而这个路程恰好比以平路的速度走1小时的路程(即第二小时走的路程)多走15千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路．
如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路．
所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时全部在走上坡路．
⑵由于第二小时比第三小时多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30
千米．所以第二小时内用在走平路上的时间为25?30?上坡路；
因为第一小时比第二小时多走了15千米，而
15小时，其余的小时在走
661小时的下坡路比上坡路要多走6?30?15??1?7.5千米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为61121小时，所以在第一小时中，有??小时是在下坡路上走的，
2632?15?7.5??15?剩余的
1小时是在平路上走的． 32157因此，陈明走下坡路用了小时，走平路用了??小时，走上坡路用了
36631?17?小时． 66