2015-2016年北京东城高三上学期期末理科数学试题及答案
北京市东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测
高三数学 （理科） 2016.1
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项.
（1）已知集合U?{1,2,3,4}，集合A?{1,3,4}，B?{2,4}，那么集合(CUA)IB?
（A）{2} （B）{4} （C）{1,3} （D）{2,4} （2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于
3 3
3 1
正（主）视图 侧（左）视图
1
3 俯视图
（A）
3 cm3 （B）2 cm3 （C）3 cm3 （D）9 cm3 2（3）设i为虚数单位，如果复数z满足(1?2i)z?5i，那么z的虚部为
（A）?1 （B）1 （C） i （D）?i （4）已知m?(0,1)，令a?logm2，b?m，c?2，那么a,b,c之间的大小关系为
（A）b?c?a （B）b?a?c （C）a?b?c （D）c?a?b （5）已知直线l的倾斜角为?，斜率为k，那么“??2m?3”是“k?3”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
?1??1,0?x?2（6）已知函数f(x)??x，如果关于x的方程f(x)?k有两个不同的实根，
??lnx,x?2那么实数k的取值范围是
33（A） (1,??) （B）[,??) （C）[e2,??) （D）[ln2,??)
2（7）过抛物线y?2px（p?0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是原点，如
果BF?3，BF?AF，?BFO?22?，那么AF的值为 3 (A)1 (B)3 (C) 3 （D） 6 2
（8）如图所示，正方体ABCD?A?B?C?D?的棱长为1, E,F分别是棱AA?，CC?的中点，
过直线E,F的平面分别与棱BB?、DD?交于M,N，设BM? x，x?(0,1)，给出以下四个命题：
① 四边形MENF为平行四边形；
② 若四边形MENF面积s?f(x),x?(0,1),则f(x)有最小 值；
③ 若四棱锥AMENF的体积V?p(x)，x?(0,1)，则
EDMBCA'D'NB'FC'p(x)常函数；
1 ④ 若多面体ABCD?MENF的体积V?h(x)，x?(,1)，2则h(x)为单调函数． 其中假命题为 ．．．
A(A) ①
(B) ②
(C)③
（D）④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
00（9） 在?ABC中，a、b分别为角A、B的对边，如果B?30，C?105，a?4，那
么b? .
（10）在平面向量a,b中，已知a?(1,3)，b?(2,y).如果a?b?5，那么y= ；如果
a+b?a-b，那么y= .
?x+y?10,?（11）已知x,y满足满足约束条件?x?y?2,，那么z?x2?y2的最大值为___.
?x?3?（12）如果函数f(x)?x2sinx?a的图象过点(π,1)且f(t)?2．那么a? ； f(?t)? ．
（13）如果平面直角坐标系中的两点A(a?1,a?1)，B(a,a)关于直线l对称，那么直线l的 方程为__.
（14）数列{an}满足：an?1?an?1?2an(n?1,n?N)，给出下述命题：
①若数列{an}满足：a2?a1，则an?an?1(n?1,n?N*)成立； ②存在常数c，使得an?c(n?N*)成立；
③若p?q?m?n(其中p,q,m,n?N)，则ap?aq?am?an； ④存在常数d，使得an?a1?(n?1)d(n?N*)都成立．
上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）
设{an}是一个公比为q(q?0,q?1)等比数列，4a1,3a2,2a3成等差数列,且它的前4项和s4?15.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn?an?2n,(n?1,2,3......),求数列{bn}的前n项和.
（16）（本小题共13分）
已知函数f(x)?sin2**x?23sinxcosx?cos2x(x?R)．
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若?为第四象限角，且cos??
3?7π)的值. ，求f(?2125
（17）（本小题共14分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为正方形，
P E D A B C PA?底面ABCD，AB?AP,E为棱PD的中点.
（Ⅰ）证明:AE?CD；
（Ⅱ）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F为AB中点，棱PC上是否存在一点M，使得FM?AC，若存在， 求出
（18）（本小题共13分）
PM的值，若不存在，说明理由. MCx2y21已知椭圆2?2?1（a?b?0）的焦点是F1、F2，且F1F2?2，离心率为．
ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|g|F2B|的取值范围．