一元二次方程的应用
[知识梳理] 一、知识结构
二、知识要点归纳 1.数学应用题
由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题，是呈现在我们中学生面前的数学应用问题.
从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”. （1） 加工“背景”：让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁. （2） 加工“数学”：让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、
方法和知识都是学生所能接受的.
（3） 加工“检验”：在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实
际问题，有验证的意识就可以了.
1. 解一元二次方程的数学应用题的一般步骤
（1） 找——找出题中的等量关系 （2） 设——设未知数
（3） 列——列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式 （4） 解——解出所列的方程
（5） 验——将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验 （6） 答——作答下结论 三、中考改革趋势
一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一，它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单分式方程的应用、一元一次方程的应用一样，随着改革的继续而更富有时代的气息，更宣于生活化，更贴近学生的实际. [解题指导]
例1.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1
元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
分析：如果按单价50元售出，每个利润是10元，卖出500个，只能赚得5000元.为了赚得8000只.只能涨价，但要适度，否则销售量就少得太多.其中的等量关系是：每个商品的利润×销售量=8000（元）.这里的关键是如何表示出每个商品的利润和销售量的问题.
解：设商品的单价是(50?x)元，则每个商品的利润是?(50?x)?40?元，销售量是
(500?10x)个.
由题意列方程为
?(50?x)?40?(500?10x)?8000. 整理，得 x2?40x?300?0. 解方程，得 x1?10,x2?30.
故商品的的单价可定为50+10=60元或50+30=80元.
当商品每个单价为60元时，其进货量只能是500-10×10=400个，当商品每个单价为80元时，其进货量只能是
500-10×30=200个.
答：售价定为60元时，进货是400个，售价定为80元时，进货是200个.
点评：此题属于能力要求较高的一元二次方程应用题.关键在于表示出两个“动态”的量：每个商品的利润、销售的量.
例2.某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？
n
分析：运用基本关系式：基数（1+平均增长率）=实际数.当然首先要求（或表示）出基数：=600÷40%.
解：设2001年预计经营总收入为x万元，每年经营总收入的年增长率为a.
根据题意，得600?40%?(1?a)?2160.
解方程，得1?a??1.2(1?a??1,2不合题意，舍去）， ∴1?a?1.2.
2x?600?40%(1?a) ?600?40%?1.2
?1800.答：2001年预计经营总收入为1800万元.
点评：本题是有关增长率问题，它的基本关系式是：基数×(1?平均增长率）=实际数.
例3.某市供电公司规定，本公司职工，每户一个月用电量若不超过A千瓦·时，则一个月的电费只要交10元，若超过A千瓦·时，则除了交10元外，超过部分每千瓦/时还要
nA元.一户职工三月份用电80千瓦·时，交电费25元；四月份用电5千瓦·时，交电100费10元，试求A的值.
分析：本题需先判断A的范围，再建立等量关系：
超过A千瓦·时所交的钱+10元=25元.以此来作为解决问题的突破口. 解：由题意，可知A≥45.
交
且有 (80?A)?A?10?25. 100 解得 A1?50（千瓦·时），A2?30（不合题意，舍去）.
答：A的值为50千瓦·时. [自我测试] 一、基础验收题
1.已知两个连续偶数的积是168，则较大的偶数为（ ） A.12 B.14 C.16 D.18
2.某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1 185元降到了580元.设平均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是（ ）
A.580(1?x)?1185 B.1185(1?x)?580 C.280(1?x)?1185 D.1185(1?x)?580
3.某工厂计划经过两年的时间将某种产品的产量从每年144万台提高到169万台，则每年平均约增长（ ）
A.5% B.8% C.10% D.15%
4.三个连续奇数，两两相乘后再相加，其和为359，求这三个数.
5.某工厂今年1月份产品数是50万件，要求3月份达到72万件，求这个工厂2月份和3月份的月平均增长率.
6.王先生将三年前购置的一辆当时售价为28万元的汽车在汽车交易市场出售，得款17.5万元（含交易手续费及税金），已知第一年的折旧率为20%，求后两年的平均折旧率是多少？（精确到0.1%）
7.某企业向银行贷款200万元开发新产品，一年后还贷款100万元，第二年后共还贷款及付息132万元.贷款均按一年期计算，年利率不变.求这种贷款的年利率.
8.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元购物，剩下1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款利率不变，到期后得本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率.
9.某商店进了一批服装，进价为每件50元.按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高1元，则其销售量就减少20件.今商店计划获利12000元，问销售单价应定为多少元？此时应进多少件服装？ 二、综合能力测试题 1.在一次庆典上，几个老同学互送纪念品一件，共送出72件纪念品，这些老同学共有几人？ 2. 某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40
元.为了迎接“六·一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 3.每件商品的成本是120元，试销了一阶段后，发现每件售价（元）与产品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系，但每天的盈利（元）却不一样.为找到每件产品的最佳定价，商场经理请一位营销策划员通过计算，在不改变每件售价（元）与日销售量（件）之间数量关系的情况下，每件定价为m元时，每日盈利可达到最佳数1600元.若请你做这位营销策划员，m的值应是几？
每件售价（元） 130 150 165 2222