第一章随机事件与概率－概念总结
一、教学要求 1．理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算． 2．了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算．
3．理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算．
4．理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算．
5．掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率．
本章重点：随机事件的概率计算．
二、知识要点
1．随机试验与样本空间
具有下列三个特性的试验称为随机试验：
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行； ·
(2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果； (3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现．
试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用?表示，其中的每一个结果用e表示，e称为样本空间中的样本点，记作??{e}． 2．随机事件
在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某 种规律性的事情称为随机事件(简称事件)．通常把必然事件(记作?)与不可能事件(记作?) 看作特殊的随机事件．
3．事件的关系及运算
(1) 包含：若事件A发生，一定导致事件B发生，那么，称事件B包含事件A，记作
A?B(或B?A)．
(2) 相等：若两事件A与B相互包含，即A?B且B?A，那么，称事件A与B相等，记作A?B． (3) 和事件：“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件，记
1,作A?B；“n个事件AA2,,An中至少有一事件发生”这一事件称为
nA1,A2,,An的和，记作A1?A2?A2,?An（简记为i?1Ai）．
(4) 积事件：“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件，记作A?B(简
1,记为AB)；“n个事件A,An同时发生”这一事件称为A1,nA2,,An的积
1?A2?事件，记作A?An（简记为A1A2A2,A2,An或i?1Ai)．
(5) 互不相容：若事件A和B不能同时发生，即AB??，那么称事件A与B互不相
1,容(或互斥)，若n个事件A1,≤i ,An互不相容． (6) 对立事件：若事件A和B互不相容、且它们中必有一事件发生，即AB??且 A?B??，那么，称A与B是对立的．事件A的对立事件(或逆事件)记作A． 第1页 共4页 (7) 差事件：若事件A发生且事件B不发生，那么，称这个事件为事件A与B的差事件，记作A?B(或AB) ． (8) 交换律：对任意两个事件Ａ和B有 A?B?B?A，AB?BA． (9) 结合律：对任意事件A，B，C有 A?(B?C)?(A?B)?C， A?(B?C)?(A?B)?C． (10) 分配律：对任意事件A，B，C有 A?(B?C)?(A?B)?(A?C)， A?(B?C)?(A?B)?(A?C)． (11) 德摩根（De Morgan）法则：对任意事件A和B有 A?B?A?B, A?B?A?B. 4．频率与概率的定义 (1) 频率的定义 设随机事件A在n次重复试验中发生了nA次，则比值nA／n称为随机事件A发生的频率，记作fn(A)，即 (2) 概率的统计定义 在进行大量重复试验中，随机事件A发生的频率具有稳定性，即当试验次数n很大时，频率fn(A)在一个稳定的值p(0 (3) 古典概率的定义 具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型： (i) 试验的样本空间?是个有限集，不妨记作??{e1,e2, (ii) 在每次试验中，每个样本点ei(i?1,2,fn(A)?nAn. ,en}; ,n）出现的概率相同，即 P({e1})?P({e2})? 在古典概型中，规定事件A的概率为 ?P({en})． P(A)?A中所含样本点的个数nA??中所含样本点的个数n． (4) 几何概率的定义 如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为 P(A)? (5) 概率的公理化定义 A的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）· 设随机试验的样本空间为?，随机事件A是?的子集，P(A)是实值函数，若满足下 列三条公理： 公理1 (非负性) 对于任一随机事件Ａ，有P(A)≥0； 公理2 (规范性) 对于必然事件?，有P(?)?1； 1,A2, 公理3 (可列可加性) 对于两两互不相容的事件A?,An,，有 P(i?1Ai)??P(Ai)i?1?， 则称P(A)为随机事件Ａ的概率． 第2页 共4页 5．概率的性质 由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质 (1) P(?)?0． 1,A2, (2) (有限可加性) 设n个事件A,An两两互不相容，则有 ?An)??P(Ai)i?1nP(A1?A2? (3) 对于任意一个事件A： ． P(A)?1?P(A)． (4) 若事件A，B满足A?B，则有 P(B?A)?P(B)?P(A), P(A)?P(B)． (5) 对于任意一个事件A，有P(A)?1． (6) (加法公式) 对于任意两个事件A，B，有 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB). 1,A2,对于任意n个事件A,An，有 nP(i?11?i?j?n1?i?j?k?ni?1 . 6．条件概率与乘法公式 设A与B是两个事件．在事件B发生的条件下事件A发生的概率称为条件概率，记作 A?i)??P(Ai)n?P(iAjA?)?P(iAjAk?A)n?1??(1)1P(AnA)P(A|B)．当P(B)?0，规定 P(A|B)?P(AB)P(B). 在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质． 乘法公式：对于任意两个事件A与B，当P(A)?0,P(B)?0时，有 P(AB)?P(A)P(B|A)?P(B)P(A|B). 7．随机事件的相互独立性 如果事件A与B满足 P(AB)?P(A)P(B)， 那么，称事件A与B相互独立． 关于事件A，月的独立性有下列两条性质： (1) 如果P(A)?0，那么，事件A与B相互独立的充分必要条件是P(B|A)?P(B)；如果P(B)?0，那么，事件A与B相互独立的充分必要条件是P(A|B)?P(A)． 这条性质的直观意义是“事件A与B发生与否互不影响”． (2) 下列四个命题是等价的： (i) 事件A与B相互独立； (ii) 事件A与B相互独立； (iii) 事件A与B相互独立； (iv) 事件A与B相互独立． 1,A2, 对于任意n个事件A,An相互独立性定义如下：对任意一个k?2,,An总满足 第3页 共4页 ,n，任意的 1?i1??ik?n，若事件A1,A2,