空间向量及其运算（2）
一、课题：空间向量及其运算（2）
二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．
三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 四、教学过程： （一）复习：
1．空间向量的概念及表示； 2．练习：课本28页第2题． （二）新课讲解：
1．共线（平行）向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：a//b． 2．共线向量定理：
对空间任意两个向量a,b(b?0),a//b的充要条件是存在实数?，使a??b（?唯一）． 推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OP?OA?tAB①，其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取AB?a，则①式可化为OP?OA?tAB或OP?(1?t)OA?tOB②
11时，点P是线段AB的中点，此时OP?(OA?OB)③ 22①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式．
当t?3．向量与平面平行：
lPBaAA?a，已知平面?和向量a，作O如果直线OA平行于?或在?内，那么我们说向量a平行于平面?，记作：a//?．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 说明：空间任意的两向量都是共面的． 4．共面向量定理：
Oaa?如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使
p?xa?yb．
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使或对空间任一点O，有OP?OM?xMA?yMB① MP?xMA?yMB上面①式叫做平面MAB的向量表达式．
（三）例题分析：
例1．已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP?试判断：点P与A,B,C是否一定共面？ 解：由题意：5OP?OA?2OB?2OC，
∴(OP?OA)?2(OB?OP)?2(OC?OP)， ∴AP?2PB?2PC，即PA??2PB?2PC， 所以，点P与A,B,C共面．
说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充
要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式OP?xOA?yOB?zOC
（其中x?y?z?1）的四点P,A,B,C是否共面？ 解：∵OP?(1?z?y)OA?yOB?zOC，
∴OP?OA?y(OB?OA)?z(OC?OA)， ∴AP?yAB?zAC，∴点P与点A,B,C共面．
例2．已知
122OA?OB?OC， 555ODABABCD，从平面AC外一点O引向量
HCGFOE?kOA,OF?KOB,OG?kOC,OH?kOD，
（1）求证：四点E,F,G,H共面； （2）平面AC//平面EG．
E解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC?AB?AD，
∵EG?OG?OE，
?k?OC?k?OA?k(OC?OA)?kAC?k(AB?AD)?k(OB?OA?OD?OA)?OF?OE?OH?OE?EF?EH∴E,F,G,H共面；
（2）∵EF?OF?OE?k(OB?OA)?k?AB，又∵EG?k?AC，
∴EF//AB,EG//AC
所以，平面AC//平面EG．
五、课堂练习：课本第31页练习第1、2题．
六、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；
2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．
七、作业：
1．已知两个非零向量e1,e2不共线，如果AB?e1?e2，AC?2e1?8e2，AD?3e1?3e2，
求证：A,B,C,D共面．
2．已知a?3m?2n?4p,b?(x?1)m?8n?2yp，a?0，若a//b，求实数x,y的值。 3．如图，E,F,G,H分别为正方体AC1的棱A1B1,A1D1,B1C1,DC11的中点， 求证：（1）E,F,D,B四点共面；（2）平面AEF//平面BDHG． 4．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，
D1HEB1GC1
AEB（1）用向量法证明：E,F,G,H四点共面； （2）用向量法证明：BD//平面EFGH．
FA1HDGDABCFC