概率论习题2答案

X的分布函数为:

x?0?0,?60,0?x?1??95F(x)?P(X?x)??92?,1?x?2?95?x?2?1,

2.17 .袋中有同类型的小球5只,编号分别为1,2,3,4,5,今在袋中任取小球3只,,以X表示3总小球的最小号码,求随机变量X的分布律与分布函数.

2.17解:X的所有可能取值为1,2,3,其概率分布为

2C46P(X?1)?3?,C510P(X?2)?P(X?3)?C3?,10C11?,310C52335

Xpk 1 6102 3103 110 X的分布函数为:

x?1?0,?6,1?x?2??10F(x)?P(X?x)??9?,2?x?3?10?x?3?1,

2.18.设连续型随机变量X的分布函数为

0,x?1,??F(x)??lnx,1?x?e?1,x?e?

(1)求P?X?2?, P?0?X?3?,P?2?X?2.5?.. (2)求X的密度函数.

2.18解:(1) 因为X是连续型随机变量,故

P(X?2)?P(X?2)?F(2)?ln2?0.69315,P(0?X?3)?P(0?X?3)?F(3)?F(0)?1?0?1,P(2?X?2.5)?F(2.5)?F(2)?ln2.5?ln2?ln1.25?0.22314

(2)X的密度函数为

x?1,?0,?1?1?,1?x?e,f(x)?F'(x)??,1?x?e,??x?x?其他,?0,x?e?0,

2.18.设连续型随机变量X的分布函数为

x???2,x?0F(x)??a?be?x?0?0,2

(1)求常数a和b,(2)求X的概率密度函数,(3)求P(ln4?X?ln16)

2.19解:(1)由于1?F(??)?limF(x)?a,得a?1,又由

x???于F(x)在x?0点右连续,可得0?F(0)?limF(x)?a?b,即

x??0得a?b?0,b??1

(2)X的密度函数为

??xe?x/2,x?0,f(x)?F'(x)???x?0?0,2

(3)因为X是连续型随机变量,故

P(ln4?X?ln16)?F(ln16)?F(ln4)?1?e?ln162ln4???2???1?e???ln1?e2?eln14?12?14?14?0.252.20.设型随机变量X的概率分布为:

X 0 ?/2 ? 3?/2 pk 0.3 0.2 0.4 0.1 求型随机变量Y的概率分布: (1)

Y?(2X??)2, (2)

Y?COS(2X??).

2.20解:(1)由X的分布律得

X 0 ?/2 ? 3?/2 pk 0.3 0.2 0.4 0.1 Y ?2 0 ?2 4?2 于是即得Y?(2X??)2的分布律:

Y 0 ?2 4?2 pk 0.2 0.7 0.1 (2) 由X的分布律得

X 0 ?/2 ? 3?/2 pk 0.3 0.2 0.4 Y?1 1 ?1 0.1 1 于是即得Y?COS(2X??)的分布律:

?

Y ?1 1 0.3 x??1?1?x?11?x?2x?2pk 0.7 ?0,?0.3,?F(x)???0.8,??1,2.21.设型随机变量X的分布函数为

(1)求X的概率分布(2)求y?xX的概率分布。

2.21解:(1)X的概率分布为: ?1 X 1 2 0.3 0.5 0.2 p k(2)|X|X的概率分布为: |X| 1 2 0.2 p 0.8 k

2.22.设随机变量X~N(0,1),求下列随机变量Y的概率密度函数:

(1)Y?2X?1;(2)Y?e?X;(3)Y?X2,求Y?1?X的密度函数.

2.22解:X的密度函数和分布函数分别为:

fX(x)??(x)?12?e?x22,FX(x)??(x)?P(X?x),

且有FX'(x)??'(x)??(x)?fX(x)

(1)Y?2X?1的密度函数和分布函数分别为

fY(y),FY(y)?P(Y?y),其中

y?1???y?1?FY(y)?P(Y?y)?P(2X?1?y)?P?X??????22????因此Y的密度函数为

fY(y)?dFY(y)?y?1??y?1?1?y?1???'????'????dy2222??????2?1?y?1?2???111(y?1)???exp???exp????2?2??22?822??????

(2)Y?e的密度函数和分布函数分别为

?XfY(y),FY(y)?P(Y?y),其中

?XFY(y)?P(Y?y)?P(e0,y?0??y)???P(X??lny),y?0,

当y?0时

FY(y)?P(X??lny)?1?P(X??lny)?1?P(X??lny)?1??(?lny)??(lny)

于是Y的密度函数为

0,?fY(y)?FY'(y)????(lny)(lny)',0,y?0,y?0,??1??y?0??(lny),y?0?y0,y?0,???(lny)2???1exp???,y?0?y2?2???

(3)Y?X的密度函数和分布函数分别为

2fY(y),FY(y)?P(Y?y),其中

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