X的分布函数为：
x?0?0,?60,0?x?1??95F(x)?P(X?x)??92?,1?x?2?95?x?2?1,
2.17 .袋中有同类型的小球5只，编号分别为1,2,3,4,5，今在袋中任取小球3只，，以X表示3总小球的最小号码，求随机变量X的分布律与分布函数.
2.17解：X的所有可能取值为1，2，3，其概率分布为
2C46P(X?1)?3?,C510P(X?2)?P(X?3)?C3?,10C11?,310C52335
Xpk 1 6102 3103 110 X的分布函数为：
x?1?0,?6,1?x?2??10F(x)?P(X?x)??9?,2?x?3?10?x?3?1,
2.18.设连续型随机变量X的分布函数为
0,x?1,??F(x)??lnx,1?x?e?1,x?e?
（1）求P?X?2?, P?0?X?3?,P?2?X?2.5?.. （2）求X的密度函数.
2.18解：(1) 因为X是连续型随机变量，故
P(X?2)?P(X?2)?F(2)?ln2?0.69315,P(0?X?3)?P(0?X?3)?F(3)?F(0)?1?0?1,P(2?X?2.5)?F(2.5)?F(2)?ln2.5?ln2?ln1.25?0.22314
（2）X的密度函数为
x?1,?0,?1?1?,1?x?e,f(x)?F'(x)??,1?x?e,??x?x?其他，?0,x?e?0,
2.18.设连续型随机变量X的分布函数为
x???2,x?0F(x)??a?be?x?0?0,2
（1）求常数a和b,（2）求X的概率密度函数，（3）求P(ln4?X?ln16)
2.19解：（1）由于1?F(??)?limF(x)?a，得a?1，又由
x???于F(x)在x?0点右连续，可得0?F(0)?limF(x)?a?b，即
x??0得a?b?0,b??1
（2）X的密度函数为
??xe?x/2,x?0,f(x)?F'(x)???x?0?0,2
（3）因为X是连续型随机变量，故
P(ln4?X?ln16)?F(ln16)?F(ln4)?1?e?ln162ln4???2???1?e???ln1?e2?eln14?12?14?14?0.252.20.设型随机变量X的概率分布为：
X 0 ?/2 ? 3?/2 pk 0.3 0.2 0.4 0.1 求型随机变量Y的概率分布: (1)
Y?(2X??)2, (2)
Y?COS(2X??).
2.20解：（1）由X的分布律得
X 0 ?/2 ? 3?/2 pk 0.3 0.2 0.4 0.1 Y ?2 0 ?2 4?2 于是即得Y?(2X??)2的分布律：
Y 0 ?2 4?2 pk 0.2 0.7 0.1 (2) 由X的分布律得
X 0 ?/2 ? 3?/2 pk 0.3 0.2 0.4 Y?1 1 ?1 0.1 1 于是即得Y?COS(2X??)的分布律：
?
Y ?1 1 0.3 x??1?1?x?11?x?2x?2pk 0.7 ?0,?0.3,?F(x)???0.8,??1,2.21.设型随机变量X的分布函数为
（1）求X的概率分布（2）求y?xX的概率分布。
2.21解：（1）X的概率分布为： ?1 X 1 2 0.3 0.5 0.2 p k（2）|X|X的概率分布为： |X| 1 2 0.2 p 0.8 k
2.22.设随机变量X~N(0,1)，求下列随机变量Y的概率密度函数：
(1)Y?2X?1;(2)Y?e?X;(3)Y?X2，求Y?1?X的密度函数.
2.22解：X的密度函数和分布函数分别为：
fX(x)??(x)?12?e?x22，FX(x)??(x)?P(X?x)，
且有FX'(x)??'(x)??(x)?fX(x)
（1）Y?2X?1的密度函数和分布函数分别为
fY(y),FY(y)?P(Y?y)，其中
，
y?1???y?1?FY(y)?P(Y?y)?P(2X?1?y)?P?X??????22????因此Y的密度函数为
fY(y)?dFY(y)?y?1??y?1?1?y?1???'????'????dy2222??????2?1?y?1?2???111(y?1)???exp???exp????2?2??22?822??????
（2）Y?e的密度函数和分布函数分别为
?XfY(y),FY(y)?P(Y?y)，其中
?XFY(y)?P(Y?y)?P(e0,y?0??y)???P(X??lny),y?0，
当y?0时
FY(y)?P(X??lny)?1?P(X??lny)?1?P(X??lny)?1??(?lny)??(lny)
于是Y的密度函数为
0,?fY(y)?FY'(y)????(lny)(lny)',0,y?0,y?0,??1??y?0??(lny),y?0?y0,y?0,???(lny)2???1exp???,y?0?y2?2???
（3）Y?X的密度函数和分布函数分别为
2fY(y),FY(y)?P(Y?y)，其中