0,y?0,?FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)???P(y?X?y,y?00,y?0,?0,y?0,??????(y)??(?y),y?0??2?(y)?1,y?0.，
于是Y的密度函数为
0,?fY(y)?FY'(y)???2?(y)(y)',0,??1?y???exp???,?2?y?2??0,y?0,?y?0,???1?(y),y?0y?0??yy?0,y?0
2.23.设随机变量X~U(0,?)，求下列随机变量Y的概率密度函数：
(1)Y?2lnX;(2)Y?cosX;(3)Y?sinX.，求Y?1?X的密度函数.
2.23解：X的密度函数和分布函数分别为：
?1/?,0?x??,fX(x)??其他，?0,，FX(x)?P(X?x)，
且有FX'(x)?fX(x) ，其中
，
（1）Y?2lnX的密度函数和分布函数分别为
fY(y),FY(y)?P(Y?y)yy????2?2??FY(y)?P(Y?y)?P(2lnX?y)?P?X?e?FeX????????因此Y的密度函数为
yyyyyy??2??2?12?2?121/?,0?e2??,??e?'?efX?e??e?fY(y)?F'Y(y)?fX?e?????2??2???????其他，?0,?1?1?e,〈?0e〈?，??2???2?e,?其他，??0，?0，y2y2y2
y?2ln?，其他，（2）Y?cosX的密度函数和分布函数分别为
fY(y),FY(y)?P(Y?y)，其中
?FX(?)?FX(arccosy)FY(y)?P(Y?y)?P(coxX?y)?P?arccosy?X???
于是Y的密度函数为
fY(y)?FY'(y)??fX(arccosy)(arccosy)'??fX(arccosy)?11?y211??,0?arccosy??,?,?1?y?1,?22???1?y???1?y??0,其他，0,其他，??
（3）Y?sinX的密度函数和分布函数分别为
fY(y),FY(y)?P(Y?y)，其中
FY(y)?P(Y?y)?P(sinX?y)?P?0?X?arcsiny)?P(??arcsiny?X????FX(arcsiny)?FX(0)?FX(?)?FX(??arcsiny)于是Y的密度函数为
fY(y)?FY'(y)?fX(arcsiny)(arcsiny)'?fX(??arccosy)(??arccosy)'?11?y2fX(arcsiny)?11?y2fX(??arcsiny)11??,0?arcsiny??,,0???arcsiny??,??22???1?y???1?y??0,其他，0,其他，??11??,0?arcsiny??,?,0?arcsiny??,?????1?y2???1?y2?0,其他，??0,其他，?2???,0?arcsiny??,?2,0??1?y2????12?y?1,?0,其他，??y?0,其他，
第二章综合练习
1. 填空题
（1）． 已知随机变量X的分布列为 X 0 1 3
Pk 0.1 0.2 p
2 0.4
则：p= 0.3 。
（2）．设
P{X?2}?X的分布函数为
?1?e?x，x?0F(x)???0，x?0，则
； P{X?3}? ；X的
概率分布f(x)? 。 （3）.设
P{X?1}?X的概率分布为
?1?，0?x?2f(x)??2??0，其它，则
；P{X?2}? 。
X（4）．设随机变量
???Acosx，x?f(x)??2?其它?0，P{0?X?}2的概率密度为
A，则：系数= ；
?= 。
（5）.设随机变量X的概率分布为
?? X 0 2P 14 12 14 X?2的分布律为 ，X的则Y?23
分布函数F(x)为 。
（6）.设随机变量X的概率分布为P(X?K)?AK!，
K?1,2,??K，??0，则常数A? 。
??e??x x?0f(x)?? x?0?0 (7)若随机变量X的概率密度为
，则
当C? 时，有P(X?C)?1。 2(8).设随机变量X的概率密度为
0?x?1?2x f(x)??其他?0 ，对X进行三次独立重复观察，用
1(X?)2Y表示事件出现的次数，则
P(Y?2)? 。
(9).设连续型随机变量X的分布函数为
??0, x?0,???F(x)??Asinx, 0?x?,2???1, x?.?2?则A=
，P(|X|??6)? 。
2.选择题
（1）设随机变量X的概率密度为f(x)，且
f(?x)?f(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数