量子力学专题三： 一维势场中的粒子
一、一维薛定谔方程边界条件和处理办法（熟练掌握） 1、边界条件： A、束缚态边界条件：
在无穷远处，找到粒子的概率为零，相应的波函数的值应该趋近于零；
B、连续性边条件：
a、波函数连续；b、波函数的一阶偏导数连续。（注意：不一定同时成立！！） C、周期性边界条件：
在求解角动量lz分量的本征函数时，利用周期性边界条件可以确定本征函数的归一化常数；在求解转子的能量本征函数时，亦可以利用周期性边界条件来确定其归一化常数。 2、处理方法：
A、列出不同区间的能量本征方程，并对其进行求解； B、根据束缚态边条件，选择适合的解；
C、根据连续性边条件，对得到的波函数进行归一化处理； D、写出本征函数和对应的能量本征值。
二、一维方势阱：
1、一维无限深方势阱的求解方法及其物理讨论（熟练掌握） A、非对称势阱： a、解题步骤：
（1）写出各个区间的能量本行方程； （2）根据写出的微分方程，求出其通解；
（3）根据连续性边界条件，确定其相位及其能量本征值的取值； （4）根据概率诠释，对波函数进行归一化处理，确定待定常数； （5）写出能量本征方程和对应的能量本征值。 b、具体过程：
?0(x?0,x?a) V(x)???(0?x?a)?（1）列出不同区间的能量本征方程，并对其进行求解； 在x?0和x?a区间，波函数为：
?(x)?0
在0?x?a区间，能量本征方程为：
?2d2??(x)?E?(x) 2mdx2对其变形，得
????k2??0
其中，k?2mE（E?0）。解得： ??(x)?Asin(kx??)
（2）根据束缚态边条件，选择适合的解；
此处的束缚态边条件，即粒子在无穷远处出现的概率为零，在求
解本征方程——在x?0和x?a区间，波函数为：?(x)?0——时已经应用了！
（3）根据连续性边条件，对得到的波函数进行归一化处理；
在x?0处，波函数连续，有?(0)?Asin??0，则有??0。波函数变为
?(x)?Asinkx
在x?a处，波函数连续，有?(a)?Asinka?0，则有ka?n?（n?1，。则波函数变为： 2，……）
?n(x)?Asinn?x（n?1，2，……） a对波函数进行归一化：
A2n?1???n(x)dx?A?sin(x)dx?? 00a2a22a2解得：
A?2?
则本征函数为：
?n(x)?2sinn?x（n?1，2，……） a?根据ka?n?，可以得到E和n的关系：
2mEnn? ?k?ha解得：
n2?2?2En?（n?1，2，……）
2ma2（4）写出本征函数和对应的能量本征值：